Si k = (1 + sen x) / cos x y 1 / k = (1 – sen x) / cos x, ¿cómo expreso cos x y sen x en términos de k, usando solo identidades trigonométricas simples?

Answer 1

A2A

Comience por convertir a sinx o cosx en el sujeto de ambas ecuaciones. Luego igualarlos juntos. Luego resuelve la otra función trigonométrica. Haré de cosx el tema y resolveré para sinx.

De la ecuación 1, [matemáticas] cosx = \ frac {1 + sinx} {k} [/ matemáticas]

De la ecuación 2, [matemática] cosx = k (1-sinx) [/ matemática]

[matemática] cosx = cosx [/ matemática] [matemática] \ implica [/ matemática] [matemática] \ frac {1 + sinx} {k} = k (1-senx) [/ matemática]

[matemáticas] 1 + senx = k ^ 2 (1-sinx) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + senx = k ^ 2-k ^ 2sinx [/ matemáticas]

[matemáticas] sinx (1 + k ^ 2) = k ^ 2-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] sinx = \ frac {k ^ 2-1} {k ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

[matemática] cosx = \ sqrt {1-sin ^ 2x} = \ sqrt {1 – (\ frac {k ^ 2-1} {k ^ 2 + 1}) ^ 2} [/ matemática]

[matemáticas] cosx = \ sqrt {\ frac {(k ^ 2 + 1) ^ 2- (k ^ 2-1) ^ 2} {(k ^ 2 + 1) ^ 2}} [/ matemáticas]

Abra los corchetes en el numerador y simplemente para obtener [matemáticas] cosx = \ frac {k} {k ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

Answer 2

Dividiendo el primero por el segundo, [math] {k ^ 2} = \ frac {{1 + \ sin x}} {{1 – \ sin x}} [/ math] de donde [math] \ sin x = \ frac {{{k ^ 2} – 1}} {{{k ^ 2} + 1}} [/ math].

Sumando, [matemáticas] k + \ frac {1} {k} = \ frac {2} {{\ cos x}} \ Rightarrow \ cos x = \ frac {{2k}} {{{k ^ 2} + 1 }}[/matemáticas]

Answer 3

Comienza por etiquetar las ecuaciones

[matemáticas] k = \ frac {1+ \ sin x} {\ cos x} \ tag {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {k} = \ frac {1- \ sin x} {\ cos x} \ tag {2} [/ matemáticas]

Agregue (1) y (2) para obtener

[matemáticas] k + \ frac {1} {k} = \ frac {2} {cos x} \ implica \ cos x = \ frac {2k} {k ^ {2} +1} \ tag {3} [/ matemáticas ]

Restar (1) y (2)

[matemáticas] k- \ frac {1} {k} = 2 \ tan x \ implica \ tan x = \ frac {k ^ {2} -1} {2k} \ tag {4} [/ matemáticas]

Ahora

[matemáticas] \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x} \ implica \ sin x = \ cos x \ tan x = \ frac {k ^ {2} = 1} {k ^ {2} + 1} \ tag {5} [/ matemáticas]

Answer 4

Answer 5

Tenemos,

[matemáticas] \ seg x + \ tan x = k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ seg x – \ tan x = \ frac {1} {k} [/ matemáticas]

Resolviendo, podemos encontrar [math] \ sec x [/ math] y [math] \ tan x [/ math]

[matemáticas] \ seg x = \ frac {k ^ {2} +1} {2k} [/ matemáticas] y,

[matemáticas] \ tan x = \ frac {k ^ {2} -1} {2k} [/ matemáticas]

Dividiéndolos podemos obtener,

[matemáticas] \ sen x = \ frac {\ tan x} {\ sec x} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ sin x = \ frac {k ^ {2} -1} {k ^ {2} +1} [/ math]

Ahora [matemáticas] \ cos x = \ frac {1} {\ sec x} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ cos x = \ frac {2k} {k ^ {2} +1} [/ math]