Esta es una parte difícil de resolver. Se me ocurrió una solución usando métodos convencionales, y produje una respuesta, pero nunca pensé completamente cómo simplificar la respuesta tanto como parecía que debería simplificar. De hecho, fue extremadamente complicado. He retenido esta solución en la parte inferior a continuación, por lo que aún se puede consultar. Sin embargo, la respuesta de Stev Iones sugiere un enfoque diferente usando una técnica de diferenciación bajo el signo integral. Creo que eso hace una solución más fácil, y ciertamente obtiene la respuesta en una forma muy simplificada. Lo que sigue aquí es una elaboración de ese enfoque, completando algunos de los saltos. Todavía no sé si esta es “la forma más fácil posible”, pero sigue siendo la mejor que he encontrado hasta ahora.
Deje [math] I (a) = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log \ left (a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 \ right) \, \ mathrm dx [/ math].
Deje [math] F (a, x) = \ log \ left (a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 \ right) [/ math], entonces [math] I (a) = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi F (a, x) \, \ mathrm dx [/ math].
La regla integral de Leibniz nos dice que proporcionar una función [matemática] f (a, x) [/ matemática] es continua y tiene derivada parcial continua en [matemática] a [/ matemática], a través de los rangos aplicables de valores de [matemática ] a [/ math] y [math] x [/ math], tenemos [math] \ dfrac {\ mathrm d} {\ mathrm da} \ left (\ displaystyle \ int_ {x_1} ^ {x_2} f (a , x) \, \ mathrm dx \ right) = \ displaystyle \ int_ {x_1} ^ {x_2} \ dfrac {\ partial} {\ partial a} \ Big (f (a, x) \ Big) \, \ mathrm dx [/ math].
- Si podemos decir que la derivada de f (x) = x ^ 2 es igual a 2x y no lim (h–> 0) de 2x + h, ¿por qué no podemos decir que 0/0 es igual a (0 + h) / ( 0 + h) = h / h = 1? ¿Por qué es eso falso?
- ¿Qué es [math] \ int e ^ x \ frac {1 + sinx} {1 + cosx} dx [/ math]?
- Cómo calcular [matemáticas] \ suma \ límites_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {i ^ n (2-i ^ n)} {2n}, i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]
- Cómo demostrar que 1 = 1/2
- ¿Por qué sinx no es una función completa?
Ahora [math] F (a, x) [/ math] está definido y es continuo, con derivada parcial continua en [math] a [/ math], donde [math] a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1> 0 [/ matemáticas]. Nos interesan los valores de [math] x [/ math] en el rango [math] [0, \ pi] [/ math], para los cuales [math] \ cos {x} \ in [-1, 1] [ / math], así que al considerar los valores extremos para [math] \ cos {x} [/ math] vemos que debemos tener [math] a ^ 2 – 2a + 1> 0 [/ math] y [math] a ^ 2 + 2a + 1> 0 [/ matemáticas], es decir , [matemáticas] (a – 1) ^ 2> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] (a + 1) ^ 2> 0 [/ matemáticas]. Los únicos valores de [math] a [/ math] para los que estas desigualdades no son válidas son [math] a = \ pm 1 [/ math], por lo que podemos aplicar la regla integral de Leibniz proporcionada [math] a \ ne \ pm 1 [/ matemáticas].
Consideraremos tres casos: [matemática] \ left \ lvert a \ right \ rvert> 1 [/ math], [math] \ left \ lvert a \ right \ rvert <1 [/ math] y [math] a = \ pm 1 [/ matemáticas].
Caso 1: [matemática] \ left \ lvert a \ right \ rvert> 1 [/ math]
Podemos usar la regla de integración de Leibniz:
[matemáticas] \ comenzar {alinear} \ por lo tanto \ frac {\ mathrm dI} {\ mathrm da} & = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm da} \ left (\ int_0 ^ \ pi F (a, x) \, \ mathrm dx \ right) \\ & = \ int_0 ^ \ pi \ dfrac {\ partial} {\ partial a} \ Big (F (a, x) \ Big) \, \ mathrm dx \\ & = \ int_0 ^ \ pi \ dfrac {\ partial} {\ partial a} \ Big (\ log \ left (a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 \ right) \ Big) \, \ mathrm dx \\ & = \ int_0 ^ \ pi \ frac {2a + 2 \ cos {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx \ end {align} [/ math]
Lema 1: Si [math] \ left \ lvert a \ right \ rvert> 1 [/ math] entonces [math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ frac {a + \ cos {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx = \ frac {\ pi} {a} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {\ mathrm dI} {\ mathrm da} = \ displaystyle 2 \ int_0 ^ \ pi \ frac {a + \ cos {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 } \, \ mathrm dx = \ dfrac {2 \ pi} {a} [/ math]
[matemática] \ por lo tanto I (a) = 2 \ pi \ log \ left \ lvert a \ right \ rvert + c_1 [/ math] para alguna constante [math] c_1 [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} \ text {Considerar} I (a) – \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log {a ^ 2} \, \ mathrm dx & = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ left (\ log \ left (a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 \ right) – \ log {a ^ 2} \ right) \, \ mathrm dx \\ & = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log \ left (\ frac {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} {a ^ 2} \ right) \, \ mathrm dx \\ & = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log \ left (1 + \ frac {2 \ cos {x}} {a} + \ frac {1} {a ^ 2} \ right) \, \ mathrm dx \ end {align} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto I (a) – \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log {a ^ 2} \, \ mathrm dx \ to \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log {1} \, \ mathrm dx = 0 [/ math] como [math] a \ to \ infty [/ math]
Pero [matemáticas] I (a) = 2 \ pi \ log \ left \ lvert a \ right \ rvert + c_1 [/ math]
Y [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log {a ^ 2} \, \ mathrm dx = \ pi \ log {a ^ 2} = 2 \ pi \ log \ left \ lvert a \ right \ rvert [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto c_1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto I (a) = 2 \ pi \ log \ left \ lvert a \ right \ rvert [/ math]
Caso 2: [matemática] \ left \ lvert a \ right \ rvert <1 [/ math]
Podemos usar la regla de integración de Leibniz como en el caso 1 anterior.
Lema 2: Si [math] \ left \ lvert a \ right \ rvert <1 [/ math] entonces [math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ frac {a + \ cos {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx = 0 [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {\ mathrm dI} {\ mathrm da} = \ displaystyle 2 \ int_0 ^ \ pi \ frac {a + \ cos {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 } \, \ mathrm dx = 0 [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto I (a) = c_2 [/ matemáticas] para alguna constante [matemáticas] c_2 [/ matemáticas]
Pero [math] F (0, x) = 0 \ \ forall x [/ math], entonces [math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi F (0, x) \, \ mathrm dx = 0 [/ math], [matemática] \ por lo tanto c_2 = 0 [/ matemática].
[matemáticas] \ por lo tanto I (a) = 0 [/ matemáticas]
Caso 3: [matemáticas] a = \ pm 1 [/ matemáticas]
(este caso aún se está completando …)
Combinando estos tres casos, tenemos:
[matemáticas] I (a) = \ boxed {\ cases {2 \ pi \ log {a} y if $ a> 1 $ \\ 0 y if $ -1 <a <1 $ \\ 2 \ pi \ log { -a} y si $ a <-1 $}} [/ math]
Prueba del lema 1: Si [matemática] \ left \ lvert a \ right \ rvert> 1 [/ math] entonces [math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ frac {a + \ cos {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx = \ frac {\ pi} {a} [/ math]
(esta prueba aún se está completando …)
Prueba del lema 2: si [matemática] \ left \ lvert a \ right \ rvert <1 [/ math] entonces [math] \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ frac {a + \ cos {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx = 0 [/ math]
(esta prueba aún se está completando …)
Mi solución original : aquí hay dragones
Deje [math] I = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ log \ left (a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 \ right) \, \ mathrm dx [/ math].
Utilizamos la integración por partes: [math] \ int u \, \ mathrm dv = uv – \ int v \, \ mathrm du [/ math]. Deje [math] u = \ log \ left (a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 \ right) [/ math] y [math] v = x [/ math], entonces [math] \ mathrm du = – \ dfrac {2a \ sin {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx [/ math] y [math] \ mathrm dv = \ mathrm dx [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto I & = \ int_0 ^ \ pi u \, \ mathrm dv = \ bigg [uv \ bigg] _ {x = 0} ^ {x = \ pi} – \ int_ {x = 0} ^ {x = \ pi} v \, \ mathrm du \\ & = \ bigg [x \ log \ left (a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1 \ right) \ bigg] _0 ^ \ pi + 2a \ int_0 ^ \ pi \ frac {x \ sin {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx \\ & = \ pi \ log \ left (a ^ 2 – 2a + 1 \ derecha) + 2a \ int_0 ^ \ pi \ frac {x \ sin {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx \ end {align} [ /matemáticas]
Deje [math] J = 2a \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ frac {x \ sin {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx [/ math], para que [matemáticas] I = \ pi \ log \ left (a ^ 2 – 2a + 1 \ right) + J [/ math].
Para evaluar: [matemáticas] J = \ displaystyle 2a \ int_0 ^ \ pi \ frac {x \ sin {x}} {a ^ 2 + 2a \ cos {x} + 1} \, \ mathrm dx [/ math]
Recuerde que [matemáticas] \ sin {\ theta} \ equiv {\ textstyle \ frac {1} {2i}} \ left (e ^ {i \ theta} – e ^ {- i \ theta} \ right) [/ math ] y [matemáticas] \ cos {\ theta} \ equiv {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ left (e ^ {i \ theta} + e ^ {- i \ theta} \ right) [/ math ], y observe que [math] \ frac {1} {i} \ equiv – i [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto J & = 2a \ int_0 ^ \ pi \ frac {x \ cdot \ frac {1} {2i} \ left (e ^ {ix} – e ^ {- ix} \ right )} {a ^ 2 + a \ left (e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ right) + 1} \, \ mathrm dx \\ & = -ai \ int_0 ^ \ pi \ frac {x \ left (e ^ {2ix} – 1 \ right)} {a ^ 2e ^ {ix} + a \ left (e ^ {2ix} + 1 \ right) + e ^ {ix}} \, \ mathrm dx \\ & = -i \ int_0 ^ \ pi \ frac {x \ left (ae ^ {2ix} – a \ right)} {ae ^ {2ix} + \ left (a ^ 2 + 1 \ right) e ^ {ix} + a} \, \ mathrm dx \\ & = -i \ int_0 ^ \ pi \ left (x – \ frac {\ left (a ^ 2 + 1 \ right) xe ^ {ix} + 2ax} {\ left ( ae ^ {ix} + 1 \ right) \ left (e ^ {ix} + a \ right)} \ right) \, \ mathrm dx \\ & = -i \ int_0 ^ \ pi \ left (x – \ frac {x} {ae ^ {ix} + 1} – \ frac {ax} {e ^ {ix} + a} \ right) \, \ mathrm dx \\ & = -i \ int_0 ^ \ pi x \, \ mathrm dx + i \ int_0 ^ \ pi \ frac {x} {ae ^ {ix} + 1} \, \ mathrm dx + ai \ int_0 ^ \ pi \ frac {x} {e ^ {ix} + a} \ , \ mathrm dx \ end {align} [/ math]
Deje [math] K = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi x \, \ mathrm dx [/ math], [math] L = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ frac {x} {ae ^ {ix} + 1} \, \ mathrm dx [/ math] y [math] M = \ displaystyle a \ int_0 ^ \ pi \ frac {x} {e ^ {ix} + a} \, \ mathrm dx [/ math], de modo que [ matemáticas] J = -iK + iL + iM [/ matemáticas].
Para evaluar: [matemáticas] K = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi x \, \ mathrm dx = \ bigg [{\ textstyle \ frac {1} {2}} x ^ 2 \ bigg] _0 ^ \ pi = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 [/ math]
Para evaluar: [matemáticas] L = \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ frac {x} {ae ^ {ix} + 1} \, \ mathrm dx [/ math]
Deje que [matemáticas] w = e ^ {ix} [/ matemáticas], [matemáticas] x = -i \ log {w} \ \ por lo tanto \ mathrm dx = – \ frac {i} {w} \, \ mathrm dw [ / matemática] y [matemática] w = 1 [/ matemática] cuando [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] w = -1 [/ matemática] cuando [matemática] x = \ pi [/ matemática] .
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto L & = – \ int_1 ^ {- 1} \ dfrac {\ log {w}} {w \ left (aw + 1 \ right)} \, \ mathrm dw \\ & = \ int _ {- 1} ^ 1 \ left (\ dfrac {\ log {w}} {w} – \ dfrac {a \ log {w}} {aw + 1} \ right) \, \ mathrm dw \\ & = \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {\ log {w}} {w} \, \ mathrm dw – \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {a \ log {w}} {aw + 1 } \, \ mathrm dw \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ bigg [\ log ^ 2 {w} \ bigg] _ {- 1} ^ 1 – a \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {\ log {w}} {aw + 1} \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ left (0 – (i \ pi) ^ 2 \ right) – a \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {\ log {w}} {aw + 1} \, \ mathrm dw \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 – a \ int_ {-1} ^ 1 \ dfrac {\ log {w}} {aw + 1} \, \ mathrm dw \ end {align} [/ math]
Utilizamos la integración por partes: [math] \ int h \, \ mathrm dk = hk – \ int k \, \ mathrm dh [/ math]. Deje [math] h = \ log {w} [/ math] y [math] k = \ frac {1} {a} \ log \ left (aw + 1 \ right) [/ math], entonces [math] \ mathrm dh = \ dfrac {1} {w} \, \ mathrm dw [/ math] y [math] \ mathrm dk = \ dfrac {1} {aw + 1} \, \ mathrm dw [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto L & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 – a \ int _ {- 1} ^ {1} h \, \ mathrm dk = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 – a \ bigg [hk \ bigg] _ {- 1} ^ 1 + a \ int_ {w = -1} ^ {w = 1} k \, \ mathrm dh \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 – \ bigg [\ log {w} \ log \ left (aw + 1 \ right) \ bigg] _ {w = – 1} ^ {w = 1} + \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {\ log \ left (aw + 1 \ right)} {w} \, \ mathrm dw \\ & = {\ textstyle \ frac { 1} {2}} \ pi ^ 2 – \ big (\ log \ left (1 \ right) \ log \ left (a + 1 \ right) – \ log \ left (-1 \ right) \ log \ left ( 1 – a \ right) \ big) + \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {\ log \ left (aw + 1 \ right)} {w} \, \ mathrm dw \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 + i \ pi \ log \ left (1 – a \ right) + \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {\ log \ left (aw + 1 \ right)} {w} \, \ mathrm dw \ end {align} [/ math]
No podemos evaluar esta integral restante exactamente usando funciones elementales, pero podemos expresar su valor en términos de la función especial de dilogaritmo, [math] \ DeclareMathOperator {\ Li} {Li} \ Li_2 \ left (z \ right) = – \ int_0 ^ z \ frac {\ log \ left (1 – t \ right)} {t} \, \ mathrm dt [/ math].
Sea [math] y = -aw \ \ por lo tanto \ mathrm dy = -a \, \ mathrm dw [/ math], [math] y = a [/ math] cuando [math] w = -1 [/ math] y [matemáticas] y = -a [/ matemáticas] cuando [matemáticas] w = 1 [/ matemáticas].
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto L & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 + i \ pi \ log \ left (1 – a \ right) – \ int _ {- a } ^ a \ frac {\ log \ left (1 – y \ right)} {y} \, \ mathrm dy \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 + i \ pi \ log \ left (1 – a \ right) – \ int_0 ^ a \ frac {\ log \ left (1 – y \ right)} {y} \, \ mathrm dy + \ int_0 ^ {- a} \ frac { \ log \ left (1 – y \ right)} {y} \, \ mathrm dy \\ & = {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 + i \ pi \ log \ left (1 – a \ right) + \ Li_2 \ left (a \ right) – \ Li_2 \ left (-a \ right) \ end {align} [/ math]
Para evaluar: [math] M = \ displaystyle a \ int_0 ^ \ pi \ frac {x} {e ^ {ix} + a} \, \ mathrm dx [/ math]
Deje que [matemáticas] s = e ^ {ix} + a [/ matemáticas], [matemáticas] x = -i \ log \ left (s – a \ right) \ [/ matemáticas] [matemáticas] \ por lo tanto \ mathrm dx = – \ frac {i} {s – a} \, \ mathrm ds [/ math] y [math] s = a + 1 [/ math] cuando [math] x = 0 [/ math] y [math] s = a-1 [/ matemática] cuando [matemática] x = \ pi [/ matemática].
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto M & = – a \ int_ {a + 1} ^ {a-1} \ frac {\ log \ left (s – a \ right)} {s \ left (s – a \ right)} \, \ mathrm ds \\ & = a \ int_ {a-1} ^ {a + 1} \ left (- \ frac {\ frac {1} {a} \ log \ left (s – a \ right)} {s} + \ frac {\ frac {1} {a} \ log \ left (s – a \ right)} {s – a} \ right) \, \ mathrm ds \\ & = – \ int_ {a-1} ^ {a + 1} \ frac {\ log \ left (s – a \ right)} {s} \, \ mathrm ds + \ int_ {a-1} ^ {a + 1} \ frac {\ log \ left (s – a \ right)} {s – a} \, \ mathrm ds \\ & = – \ int_ {a-1} ^ {a + 1} \ frac {\ log \ left (1 – \ frac {s} {a} \ right) + \ log \ left (-a \ right)} {s} \, \ mathrm ds + {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ bigg [ \ log ^ 2 \ left (s – a \ right) \ bigg] _ {a-1} ^ {a + 1} \\ & = – \ int_ {a-1} ^ {a + 1} \ frac {\ log \ left (1 – \ frac {s} {a} \ right)} {s} \, \ mathrm ds – \ log \ left (-a \ right) \ int_ {a-1} ^ {a + 1} \ frac {1} {s} \, \ mathrm ds + {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ left (\ log ^ 2 \ left (1 \ right) – \ log ^ 2 \ left (-1 \ right) \ right) \\ & = – \ int_ {a-1} ^ {a + 1} \ frac {\ log \ left (1 – \ frac {s} {a} \ right)} {s} \ , \ mathrm ds – \ log \ left (-a \ right) \ bigg [\ log {s} \ bigg] _ {a-1} ^ {a +1} – {\ textstyle \ frac {1} {2}} (i \ pi) ^ 2 \\ & = – \ int_ {a-1} ^ {a + 1} \ frac {\ log \ left (1 – \ frac {s} {a} \ right)} {s} \, \ mathrm ds – \ log \ left (-a \ right) \ log \ left (\ frac {a + 1} {a-1} \ derecha) + {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 \ end {align} [/ math]
Nuevamente necesitaremos usar la función dilogarithm para expresar el valor de esta integral restante.
Deje [math] t = \ frac {s} {a} \ \ por lo tanto \ mathrm dt = \ frac {1} {a} \, \ mathrm ds [/ math], [math] t = 1 – \ frac {1 } {a} [/ matemática] cuando [matemática] s = a-1 [/ matemática] y [matemática] t = 1 + \ frac {1} {a} [/ matemática] cuando [matemática] s = a + 1 [/matemáticas].
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto M & = – \ int_ {1 – \ frac {1} {a}} ^ {1 + \ frac {1} {a}} \ frac {\ log \ left (1 – t \ right)} {t} \, \ mathrm dt – \ log \ left (-a \ right) \ log \ left (\ frac {a + 1} {a-1} \ right) + {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 \\ & = – \ int_0 ^ {1 + \ frac {1} {a}} \ frac {\ log \ left (1 – t \ right)} {t} \, \ mathrm dt + \ int_0 ^ {1 – \ frac {1} {a}} \ frac {\ log \ left (1 – t \ right)} {t} \, \ mathrm dt – \ log \ left ( -a \ right) \ log \ left (\ frac {a + 1} {a-1} \ right) + {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 \\ & = \ Li_2 \ left (1 + \ frac {1} {a} \ right) – \ Li_2 \ left (1 – \ frac {1} {a} \ right) – \ log \ left (-a \ right) \ log \ left (\ frac {a + 1} {a-1} \ right) + {\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 \ end {align} [/ math]
Para evaluar: [matemáticas] I = \ pi \ log \ left (a ^ 2 – 2a + 1 \ right) + J [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} \ text {Now} J & = -iK + iL + iM \\ & = – i \ left ({\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 \ right) + i \ left ({\ textstyle \ frac {1} {2}} \ pi ^ 2 + i \ pi \ log \ left (1 – a \ right) + \ Li_2 \ left (a \ right) – \ Li_2 \ left (-a \ right) \ right) \\ & \ \ \ \ + i \ left (\ Li_2 \ left (1 + \ frac {1} {a} \ right) – \ Li_2 \ left (1 – \ frac {1} {a} \ right) – \ log \ left (-a \ right) \ log \ left (\ frac {a + 1} {a-1} \ right) + {\ textstyle \ frac {1} { 2}} \ pi ^ 2 \ right) \ end {align} [/ math]
[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto I & = \ pi \ log \ left (a ^ 2 – 2a + 1 \ right) – \ pi \ log \ left (1 – a \ right) – i \ log \ left (-a \ right) \ log \ left (\ frac {a + 1} {a-1} \ right) + {\ textstyle \ frac {1} {2}} i \ pi ^ 2 \\ & \ \ \ \ + i \ Li_2 \ left (a \ right) – i \ Li_2 \ left (-a \ right) + i \ Li_2 \ left (1 + \ frac {1} {a} \ right) – i \ Li_2 \ left (1 – \ frac {1} {a} \ right) \ end {align} [/ math]
Letra pequeña: • cuando uso [math] \ log [/ math] esto denota un logaritmo natural (base [math] e [/ math] ); si se pretende cualquier otra base, se mostrará como un subíndice • Generalmente omito las constantes de integración de integrales indefinidas hasta que muestre un resultado final •