Cómo calcular [matemáticas] \ suma \ límites_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {i ^ n (2-i ^ n)} {2n}, i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

¿Cómo puedo calcular [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ n (2 − i ^ n)} {2n}} [/ matemáticas], [matemáticas] i ^ 2 = −1 [/ matemáticas] ?

Pensé en esto de la noche a la mañana, así que llego tarde a la fiesta, pero mi método es lo suficientemente diferente de las otras respuestas como para ser de algún interés.

Ignoraré la cuestión de la convergencia por ahora y me preocuparé más tarde.

Podemos dividir la serie en dos, [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {i ^ n} {n}} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {- \ frac {i ^ {2n}} {2n}}. [/ math]

La primera suma parece un caso especial de la serie logarítmica [matemáticas] – \ ln (1-i) [/ matemáticas] y también lo hace la segunda serie [matemáticas] \ frac12 \ ln (1 + 1) [/ matemáticas]. El problema con la primera serie (aparte de la convergencia) es que [math] \ ln (1-i) [/ math] tiene muchos valores. Parece razonable suponer que, si la serie converge, converge al valor principal, pero debemos verificar. Ignorando que por el momento, la suma de la serie original debe ser [matemática] – \ ln (1-i) – \ ln (1 + 1) = – \ ln (| 1-i |) – i \ arg (1 -i) + \ ln (\ sqrt {2}) = \ frac {i \ pi} {4} [/ math].

La serie logarítmica converge condicionalmente en [matemática] z = 1 [/ matemática] pero ¿converge en [matemática] z = \ pm i [/ matemática] que está en el círculo de convergencia?

Podemos separar las partes reales e imaginarias de la primera serie. La parte real es [matemáticas] \ frac12 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ n} {n}} = – \ frac12 \ ln (2) [/ matemáticas] y la parte imaginaria es [matemáticas] i \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ n} {2n-1}} = i \ tan ^ {- 1} (1) = [/ math] [math] \ frac {i \ pi} {4} [/ math].

Ambas series son sumas alternativas de términos con magnitud decreciente y, por lo tanto, convergen. La parte imaginaria resulta ser el valor principal de [math] – \ ln (1-i) [/ math].

Entonces, la suma es [math] \ frac {i \ pi} {4} [/ math] como otros han descubierto.

Considere [math] S (z) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {z ^ n (2-z ^ n)} {2n} [/ math].

Una primera suposición sería que esto converge solo para [math] | z | <1 [/ math] pero eso puede no ser correcto. ¡Vamos a ignorar la convergencia para empezar!

Multiplicando y reorganizando los términos recibimos mucha cancelación y terminamos con:

[matemáticas] S (z) = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {z ^ {2n-1}} {2n-1} \ = \ z + \ frac {z ^ 3} {3} + \ frac {z ^ 5} {5} + \ frac {z ^ 7} {7} +… [/ matemáticas]

Así tenemos:

[matemáticas] S (i) = i + \ frac {i ^ 3} {3} + \ frac {i ^ 5} {5} + \ frac {i ^ 7} {7} +… \\ \ quad \ quad = i (1- \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {7} +…) \\ \ quad \ quad = i \ tan ^ {- 1} (1 ) \\ \ quad \ quad = \ frac {i \ pi} {4} [/ math]

Diría que si su serie converge, entonces converge a [math] \ frac {i \ pi} {4} [/ math].

Simplificar la expresión da la serie infinita

que da la solución bien conocida

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