¿Qué es [math] \ int e ^ x \ frac {1 + sinx} {1 + cosx} dx [/ math]?

Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {(1 + \ sin (x)) e ^ x} {1 + \ cos (x)} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {(\ sin ^ 2 (\ frac {x} {2}) + \ cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) + 2 \ sin (\ frac {x } {2}) \ cos (\ frac {x} {2})) e ^ x} {1 + 2 \ cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) – 1} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {(\ sin (\ frac {x} {2}) + \ cos (\ frac {x} {2})) ^ 2 e ^ x} {2 \ cos ^ 2 (\ frac {x} {2})} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {(\ tan (\ frac {x} {2}) + 1) ^ 2 e ^ x} {2} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {(\ tan ^ 2 (\ frac {x} {2}) + 2 \ tan (\ frac {x} {2}) + 1) e ^ x} {2} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {(\ sec ^ 2 (\ frac {x} {2}) + 2 \ tan (\ frac {x} {2})) e ^ x} {2} \, dx [/ math]

Como, [matemáticas] \ dfrac {d} {dx} e ^ xf (x) = e ^ xf (x) + e ^ x f ‘(x) [/ matemáticas]

Aquí [matemáticas] f (x) = \ tan (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]

Entonces, [math] \ displaystyle I = e ^ x \ tan (\ frac {x} {2}) + C [/ math] (donde [math] C [/ math] es la constante de la integral indefinida)

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ displaystyle \ int e ^ x \ dfrac {1+ \ sin x} {1+ \ cos x} \, \ mathrm dx \\ & = \ displaystyle \ int e ^ x \ left (\ dfrac {\ sin x} {1+ \ cos x} + \ dfrac {1} {1+ \ cos x} \ right) \, \ mathrm dx \ end {align} [/ math]


[matemáticas] \ begin {align} \ text {Let,} f (x) & = \ dfrac {\ sin x} {1+ \ cos x} \\ & \ implica f ‘(x) = \ dfrac {1} {1+ \ cos x} \ end {align} [/ math]


Entonces, la integración se puede escribir en la forma –

[math] \ displaystyle \ int e ^ x [f (x) + f ‘(x)] \, \ mathrm dx [/ math] cuyo valor es [math] e ^ xf (x). [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \, I = \ en caja {\ dfrac {e ^ x \ sin x} {1+ \ cos x}} [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] I = \ int e ^ {x} \ frac {1 + sin (x)} {1 + cos (x)} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle {\ int \ frac {1} {2cos ^ 2 (x / 2)} + \ frac {2 \ sin (x / 2) \ cos (x / 2)} {2cos ^ 2 ( x / 2)}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ displaystyle [/ matemáticas] [matemáticas] \ int [/ matemáticas] [matemáticas] e ^ {x} [\ frac {sec ^ 2 (x / 2)} {2} + tan (x / 2 )] dx [/ matemáticas]

Esto es integral de forma

[matemáticas] \ int e ^ {x} [f ‘(x) + f (x)] dx [/ matemáticas]

y sabemos lo que sucede en este tipo de integrales.

[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {x} [f ‘(x) + f (x)] dx = e ^ {x} f (x) [/ matemáticas]

Ahora configurando

[matemáticas] f (x) = tan (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ en caja {I = e ^ {x} tan (\ frac {x} {2})} [/ matemáticas]

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