¿Por qué [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Me alegro de que seas tan escéptico que pidas pruebas.

Si desea una prueba de que algo es así, debe especificar lo que aceptará.

Russell y Whitehead lo derivaron directamente de la lógica y las primitivas lógicas. Es una prueba muy larga. Aquí hay una pequeña parte, enganchada de Wikipedia:

Demasiado rico para mi sangre.

Un enfoque más intuitivo implicaría una mirada al conteo.

Si utiliza el enfoque de Peano, puede definir el concepto de sucesor . Si comienza con 0 , entonces 1 se define como el sucesor de 0 , escrito S (0) . La definición de 2 es S (S (0)) . Intuitivamente, el sucesor es el siguiente número al que llega contando. (A los matemáticos les gusta comenzar con cero, aunque Peano originalmente usó uno).

Necesita definir la suma también. Ahora la suma se define de forma recursiva con las fórmulas

1. a + 0 = a,
2. a + S (b) = S (a + b) .

En otras palabras, agregar cero conserva un número, y agregar un número al sucesor de un número le da al sucesor de su suma. Esto puede no parecer la definición más natural de la suma, pero reduce la adición a la acción aún más simple de contar.

OK, estamos siendo muy estrictos aquí. Para revisar, hemos definido la suma, y ​​hemos definido los números 1 y 2.

Entonces queremos demostrar que
1 + 1 = 2 .
Eso es equivalente, usando las definiciones de 1 y 2, para probar
S (0) + S (0) = S (S (0)).

Deje a = S (0) yb = 0.
El lado izquierdo es equivalente a (usando la ecuación 2):
S (S (0) + 0).

Usando la ecuación 1, podemos eliminar el cero agregado, y se demuestra que el lado izquierdo es S (S (0)). Pero ese es el lado correcto

Como S (0) + S (0) = S (S (0)) es verdadero, entonces 1 + 1 = 2 es verdadero.

¡Todo esto es esencialmente equivalente a contar con los dedos, teniendo en cuenta que contar es lo mismo que sumar uno, y que el siguiente número contando desde uno es dos!

Answer 2

Revivamos algunas definiciones.

Filosofía: es el estudio de problemas generales y fundamentales, como los relacionados con la realidad, la existencia, el conocimiento, los valores, la razón, la mente y el lenguaje.

Idioma: Medio de comunicación de experiencias, pensamientos y sentimientos a través de un sistema de señales arbitrarias, como sonidos de voz, gestos o símbolos escritos.

Matemáticas : mi propia actitud, que comparto con muchos de mis colegas, es simplemente que las matemáticas son un lenguaje. Al igual que el inglés, el latín o el chino, hay ciertos conceptos para los que las matemáticas son particularmente adecuadas: sería tan tonto intentar escribir un poema de amor en el lenguaje de las matemáticas como probar el teorema fundamental del álgebra usando el idioma inglés. .
—RLE Schwarzenberger.

Ahora tomemos nuestra declaración 1 + 1 = 2.

En mi opinión, es una declaración en matemáticas del lenguaje utilizada para comunicar una de nuestras experiencias.

¿Cuál es esa experiencia? Se puede describir de la siguiente manera:
Estoy sentado en mi silla detrás de una mesa vacía. Entonces, de repente, se pone algo sobre mi mesa que percibo como un objeto que tiene límites claros. Es distinto de todas las otras cosas que estoy percibiendo. Asigno un símbolo 1 a esta entidad. Entonces, de repente, aparece un objeto más, distinto, etc. en mi mesa. Entonces asigno nuevamente el mismo símbolo 1 a esta entidad.
Ahora colectivamente para ambas entidades, asigno el símbolo 2. Para este colectivismo de percepción, asigno un símbolo +.
Toda esta experiencia la comunico a través de una declaración 1 + 1 = 2.

La filosofía india, por otro lado, sostiene que todas las entidades percibidas son en realidad manifestaciones de 1. Entonces, todo colectivamente está representado por 1. Esto, filosóficamente nuevamente, es una etapa posterior a la etapa 0 (cero) cuando no había nada, que también es El principio y el fin de todo.

Entonces, la respuesta a una pregunta ¿por qué es 1 + 1 = 2? es porque eso es precisamente lo que se supone que debe comunicar.
¿Tiene alguna perspectiva filosófica? NO. No veo ninguno
¿Tiene una perspectiva lingüística? SI. Solo tiene eso, OMI.

No soy un experto en estos asuntos. Esta respuesta se basa en mi sentido común.
Espero que esto ayude en tu búsqueda.

Answer 3

Matemáticas 214 – Suma, resta, multiplicación y división. Primera clase de prueba matemática en la universidad, segundo año.

Recuerdo esto muy claramente, ya que me tomó 5 horas para darme cuenta, pero una vez que lo hice, fue demasiado fácil.

Esto es bastante fácil y tiene infinitas formas de demostrarlo, pero esta es la forma en que lo usamos. Todo está en la definición de 1, 2 y +. Lo acortaré para ahorrar algo de tiempo y hacerlo fácilmente comprensible.

Supongamos que N sea el conjunto completo de números naturales {1, 2, 3, 4 ….}, Que cuente x sea 1, luego 2, 3, luego 4, entonces … luego x. Sea n una lista de números naturales. Sea H (n) ser {x1} si n = {x1, x2, x3 … xn} o, la cabeza del elemento en la lista, Sea T (n) sea {x2, x3, x4 … xn} o la cola de la lista Deje que C (x) sea T (N) recursivamente cuente x-1, o T (N) = {1,2,3,4…} una vez, T ({1,2,3,4…} = {2, 3,4,5 …} dos veces, T ({2,3,4,5 …} = {3,4,5,6 ..} tres veces … x veces.

Ahora dejemos que x + y sea: C (x) = n, el recuento y de H (T (n)) recursivamente, es decir, H (T (n)) se convierte en n en las iteraciones posteriores.

Entonces 1 + 1: C (1), cuenta 1 de H (T (n)). C (1) significa contar de N a 1, luego te queda la cola de N una vez (1,2,3,4,5 …}, ahora esto se establece en n (solo una lista de números naturales. Ahora toma este ny conéctelo a H (T (n) que le da primero T {1,2,3 …} = {2,3,4 …} y luego H {2,3,4 …} = {2}.

Entonces, por definición de 1 + 1, obtenemos {2} o 2.

La idea es que puede definir x + y donde x es el punto de partida de la lista de números naturales, de modo que si x es 5, comience la lista con 5, es decir, {5,6,7,8 …}. y es el número de iteraciones que desea dar 1 paso “hacia adelante”, de modo que si y es 3, entonces comienza con 5, da 1 paso hacia adelante 3 veces le da 8.

Tendrá que definir qué es hacia adelante, qué está dando un paso adelante, cuál es el punto de partida y cómo llegar allí, qué queda cuando llega al punto de partida (el resto de los números naturales, incluido el punto de partida es necesario), lo que está contando (debe iterar y veces, por lo que debe contar. Entonces puede probar x + y = lo que sea. Obviamente requiere mucho trabajo porque no puede decirle a la gente que mire esta lista , y mueva un número a la derecha y haga que se acepte como prueba matemática.

Answer 4

Gracias por la solicitud de respuesta.

Ya hay al menos 80 respuestas a esta pregunta. En una de estas 80 respuestas, Alan Bustany proporcionó la prueba de este resultado.

Pero si observa cuidadosamente su prueba, notará que la prueba se basa en la siguiente información:

1. Agregar [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a cualquier número natural deja ese número sin cambios.
2. Los números naturales tienen un orden inherente. [matemática] 1 [/ matemática] viene después de [matemática] 0 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática] viene después de [matemática] 1 [/ matemática], y así sucesivamente.
3. Agregar el siguiente número después de [matemática] m [/ matemática] al número [matemática] n [/ matemática] da el siguiente número después de [matemática] m + n [/ matemática].

Dada la información anterior, no es del todo difícil probar que [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas], y, de hecho, la prueba de Alan Bustany (o, debería decir, la de Giuseppe Peano) es relativamente sencilla.

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Pero, por supuesto, los lectores inteligentes entre ustedes seguramente cuestionarán los puntos 1, 2 y 3 anteriores.

“¿Por qué [matemáticas] 0 + n = n [/ matemáticas]?”

“¿Por qué es [matemáticas] 1 [/ matemáticas] el número después de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]? ¿Por qué es [matemáticas] 2 [/ matemáticas] el número después de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]?”

y así.

¿La razón?

Los matemáticos lo dijeron.

Ahora, por supuesto, los matemáticos no dijeron: “Mira, debes creer esto sin importar qué, porque nosotros gobernamos este tema y no nos importa lo que digas”.

Lo que realmente dijeron es: “Mire, para probar algo, necesita comenzar con algunas declaraciones que son indudablemente verdaderos axiomas “. (Zermelo llamó a tales declaraciones principios lógicos inobjetables ) .

Entonces, en vista de este desarrollo, la respuesta a ‘¿por qué es [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas]?’ puede tomar una de dos formas:

1. Se define de esa manera. ¿Por qué no debería ser 2?
2. La prueba de Alan Bustany responde a esta pregunta, pero introduce otras preguntas como “¿por qué [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es el número que viene después de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]?” que son respondidas por ‘se define de esa manera. ¿Por qué no debería ?

En otras palabras, no importa lo que hagas, siempre llegarás a un punto en tu lógica donde acechan los ” principios lógicos inobjetables “, que debes aceptar como definiciones (aunque estas definiciones están razonablemente justificadas).

Answer 5

Como matemático, puedo decir muchas maneras de probar 1 + 1 = 2. De hecho, fue la primera pregunta de mi aritmética básica que comencé a aprender desde que tenía 4 años.

Lo primero que debes saber es qué es 1 y qué es 2 por definición. Los hechos 1 y 2 no son más que números secuenciales y la forma en que definimos los números naturales es que un número que comienza con 1 y progresa al siguiente 1 y al siguiente 1.

Simplemente, para entender el siguiente 1 debemos nombrarlo con otro carácter (llamado entero ). Supongamos que lo llamamos 2. Entonces, 2 no es más que la siguiente secuencia de 1 o podemos decir, el siguiente 1 o (1 + 1), que simplemente se llama como 2. Por definición, puede concluir esa prueba.

1 + 1 es una pregunta muy básica, pero para demostrarlo de otra manera, podemos suponer que conocemos el resto de las matemáticas en álgebra , trigonometría , sistema numérico .

Para demostrarlo, utilizaremos matemáticas prácticas :

• Tomemos una pelota que pese exactamente 2 kg o calculemos su volumen (puede usar el principio de archmedes). Ahora, córtelo en dos partes iguales (considere que no se desperdicia masa) y calcule el volumen de cada mitad o mida el peso. Por lo tanto, se registrará la mitad y la mitad del volumen (o peso) y se comparará con el volumen / peso de la bola sin cortar.

Por ejemplo , la bola pesa 2 kg… .1 media después del corte será 1 kg. Ahora, (1 kg mitad + 1 kg mitad) será exactamente igual a 2 kg lleno, es decir, la bola sin cortar completa.

• Utilizaremos el método de sección en este ejemplo práctico donde vamos a tomar una cadena de longitud 2x. Uniremos los extremos y cortaremos la cuerda en la articulación. Ahora, mediremos la longitud de cada uno como x y x, sumaremos y obtendrás 2x. Supongo que sabemos cómo multiplicar y dividir o tomar MCD de un número.

⏩ x + x = 2x

⏩ 1 + 1 = 2.

x se cancela.

• Podemos usar diferentes y diferentes fórmulas de álgebra.

Por ejemplo: uso de progresión aritmética

1,2,3,4, … es una secuencia y ahora la diferencia común es (2-1 = 1) o (3-2 = 1) (supongo que conoce la resta y los conceptos de álgebra ).

Ahora, 1 es la diferencia común . Entonces, también sabemos que cada término es una progresión de diferencia común. Entonces 2 es la progresión de 1 con la diferencia común 1.

Entonces, 1 + 1 = 2 (próximo término)

De este modo, se asegurará que 1 + 1 = 2.

Puede haber muchas formas de probarlo. Me temo cuánto tiempo durará la publicación. Solo profundiza, lo descubrirás todo.

Answer 6

Esta no es una prueba rigurosa de ninguna manera, solo quiero mostrarles lo que significa “1 + 1 = 2” desde un punto de vista matemático.

(Como dijo Sridhar, la respuesta depende del conjunto de reglas. Los axiomas de Peano son un formalismo común, por lo que este ejemplo se basa en ellos).

Escribamos las definiciones en Haskell (lenguaje de programación), para que podamos jugar con ellas en GHCi y tener una idea de cómo funcionan.

La primera definición intenta capturar cuáles son los números naturales:

datos Nat = Cero | Succ Nat
derivando (Show, Eq)

Dice que un número natural es cero, o es el sucesor de un número natural. (La segunda línea solo es necesaria para que podamos imprimir números naturales y compararlos para la igualdad). Los axiomas de Peano son en realidad mucho más precisos, pero eso está bien por ahora.

Bien, veamos algunos números naturales. Lo que conocemos como 1 es en realidad solo un nombre para el sucesor de 0. De manera similar, 2 es solo el sucesor de 1:

uno = Succ Cero
dos = Succ uno

Tenga en cuenta que Zero y Succ están en mayúsculas, porque son parte de la definición de números naturales. Por otro lado, one y two no lo son, porque son solo nombres para Succ Zero y Succ (Succ Zero) .

La última definición es sobre la suma:

n `más` Cero = n
n `plus` (Succ m) = Succ (n` plus` m)

El primer caso dice que si agrega 0 a cualquier número, recupera ese número.
El segundo caso dice que usted puede mudarse y dejar al sucesor fuera de la suma. Simplemente piense en tomar al sucesor como “agregar uno”, y lo obtendrá.

Ahora podemos escribir “1 + 1” como one `plus` one , así que veamos qué obtendríamos. (Esto es solo pensar en voz alta con el resaltado de sintaxis, así que no lo copie).

one `plus` one = (Succ Zero)` plus` (Succ Zero)
(Succ Zero) `plus` (Succ Zero) = Succ ((Succ Zero)` plus` Zero)
Succ ((Succ Zero) `plus` Zero) = Succ (Succ Zero)
Succ (Succ Zero) = Succ uno = dos

La línea 1 sustituye la definición del número 1.
La línea 2 usa el segundo caso en la definición de suma.
La línea 3 aplica el primer caso en la definición de adición a las cosas entre paréntesis.

Aquí está el código completo:

datos Nat = Cero | Succ Nat
derivando (Show, Eq)

uno = Succ Cero
dos = Succ uno

n `más` Cero = n
n `plus` (Succ m) = Succ (n` plus` m)

Una vez que guardó eso en un archivo llamado nat.hs , puede abrir una terminal, iniciar GHCi (suponiendo que lo tenga instalado) escribiendo ghci nat.hs , luego vea por sí mismo lo que one `plus` one == two evalúa .

Answer 7

La prueba comienza con los postulados de Peano, que definen los números naturales [math] \ mathbb {N} [/ math]. [math] \ mathbb {N} [/ math] es el conjunto más pequeño que satisface estos postulados:

• P1 [matemáticas] 1 \ en \ mathbb {N} [/ matemáticas]
  (1 es la identidad multiplicativa )
• P2 Si [math] x \ in \ mathbb {N} [/ math] entonces su “sucesor” [math] x ‘\ in \ mathbb {N} [/ math].
  (Deje [math] x ‘= x + 1 [/ math] luego [math] x’ \ in \ mathbb {N} [/ math])

  Deberíamos echar un vistazo a la definición de la función sucesora.

  En matemáticas, la función sucesora u operación sucesora es una función recursiva primitiva S tal que S ( n ) = n +1 para cada número natural n . Por ejemplo, S (1) = 2 y S (2) = 3. En otras palabras, 1 ‘= 2 y 2’ = 3.

  La función sucesora se usa en los axiomas de Peano que definen los números naturales. Como tal, no se define mediante la suma, sino que se usa para definir todos los números naturales más allá de 1. Por ejemplo, 2 se define como S (1) o, en otras palabras, 1 ‘= 2.

• P3 No hay [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] x ‘= 1 [/ matemática].
  (No hay un número natural antes del 1)
• P4 Si [math] x \ neq 1 [/ math], hay un [math] y \ in \ mathbb {N} [/ math] tal que [math] y ‘= x [/ math].
  (Si [matemática] x \ neq 1 [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] es el número natural antes de [matemática] x [/ matemática], en otras palabras [matemática] y = x-1 [/ matemática ])

Luego debe definir la suma de forma recursiva:

• Def: Sea [math] a, b \ in \ mathbb {N} [/ math]. Si [matemática] b = 1 [/ matemática], entonces defina [matemática] a + b = a ‘[/ matemática] (usando P1 y P2). Si [math] b \ neq 1 [/ math], entonces dejó [math] c ‘= b, c \ in \ mathbb {N} [/ math] (usando P4) y define [math] a + b = ( a + c) ‘[/ matemáticas].
  ([matemáticas] (a + c) ‘= (a + (b-1)) + 1 = a + b [/ matemáticas])

Teorema: [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas]
Prueba: utilice la primera parte de la definición de + con [matemáticas] a = b = 1 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] 1 + 1 = 1 ‘= 2 [/ matemáticas] (QED)

(Artículo de referencia: Math Forum – Ask Dr. Math – 1 + 1 = 2)

Answer 8

Si. Puede probarlo formalmente a través de la manipulación sintáctica pura en la aritmética de Peano. También es mecanizable. A continuación, uso Coq para demostrar cómo definir números naturales, definir sumas en ellos y luego demostrar que “1 + 1 = 2”.

Las primeras 3 líneas dan la definición inductiva de números naturales:

• ” O ” es un número natural
• Si “n” es un número natural, ” S (n) ” también es un número natural
• Nada más es un número natural

Según esta definición, ” S (O) ” representa 1 y ” S (S (O)) ” representa 2 .

Las siguientes 5 líneas definen la operación de suma, definida inductivamente en el operando izquierdo:

• “O + n” = “n”
• Si “m + n” = “k”, entonces “S (m + n)” = “S (k)”

Con estas definiciones, “1 + 1 = 2” puede derivarse directamente desplegando la definición de “más” y comparando 2 piezas de sintaxis idéntica. En este caso, el método de prueba “reflexividad” automatiza todo para nosotros.

Coq es un asistente de pruebas que confía en un núcleo muy pequeño llamado Cálculo de construcciones inductivas.

(Esto resulta solo una versión más colorida y elaborada de la respuesta de Uros Dinic con la esperanza de robar algunos votos positivos ^^)

Answer 9

Me encanta esta pregunta ¡Lanzando a todos para una gran escapada! Todos los que lanzan respuestas descabelladas que responden a la pregunta con una reiteración de sí mismos.

Lo mejor de todo lo que puedo decir es: según lo declarado por Alexander Farrugia, 1 + 1 = 2 es un Axioma, que es una idea en la que todos están de acuerdo, pero NO PUEDE explicarse por idioma.

Entonces las definiciones de estos números y su interacción fueron establecidas de esa manera por los primeros matemáticos de la humanidad. Alguien en la antigua prehistoria miró sus manos y contó sus dedos.

Levantó un dedo, luego otro, luego otro y notó que para cada iteración había un número único de dedos. Pronto se dio cuenta de que necesitaba nombrar cada uno de estos valores, para poder realizar un seguimiento, y así decidió los nombres de los dígitos. Señaló que los dígitos siempre aparecen en el mismo orden de secuencia exacto a medida que sigue levantando los dedos.

Luego notó que cualquier dedo por sí solo representa un 1, y luego notó que de cualquier número de dedos, si coloca 1 más, invariablemente tendrá el siguiente número en la secuencia de conteo. Luego notó que lo mismo parece aplicarse no solo a los dedos, sino a todo lo que existe.

Se dio cuenta de que 1 + 1 = 2, ¡pero no podía demostrárselo a sus amigos de ninguna manera, excepto para mostrárselo con los dedos! Todos lo vieron también, y todos supieron que 1 + 1 = 2 por cualquier marco de referencia de observación de todos.

Esa ayuda visual se convirtió en un Axioma. Ese axioma fue enseñado a los infantes por siempre más. Pero nunca podría expresarse lingüísticamente. La prueba de un Axioma es algo que su mente está creada para saber, pero no para expresar verbalmente.

Answer 10

Este no es un tipo de trato “porque lo dije”.

Si tomas una de algo y luego pones otra de esa misma cosa al lado, ahora tienes dos de esa cosa.

Cuando se trata de sumas / restas / multiplicaciones / divisiones básicas y no algebraicas, es una cuestión de hecho, no de teoría. Puedes realizar las matemáticas físicamente usando objetos.

Ejemplo: si tengo un coco, y recojo otro coco del árbol, y luego encuentro otro coco debajo de otro árbol, tengo tres cocos.

1 (el original) +1 (el elegido) +1 (el encontrado) = 3

o

1 (tipo de objeto) x 3 (cantidad de objetos de ese tipo) = 3

Para ilustrar aún más la división, digamos que encuentra seis plátanos y otro coco además de los tres cocos, pero debe compartirlo todo con su esposa.

Comenzaremos con los plátanos. Hay seis plátanos en total. Y hay dos de ustedes. Entonces: 6/2 = 3 plátanos cada uno. Bueno. Cada uno de ustedes obtiene tres plátanos.

Ahora los cocos. Hay cuatro cocos en total. Y todavía hay solo ustedes dos. Entonces: 4/2 = 2 cocos cada uno. Dulce. Dos cocos enteros para cada uno de ustedes.

Ahora podemos agregar estos sonsabitches. Cada uno tiene dos cocos por pieza y tres plátanos por pieza. ¿Cuántas frutas totales tiene cada una?

2 (coco) + 3 (plátano) = 5 (frutas)

Increíble. Cada uno de ustedes tiene cinco frutas para sus barrigas gordas. Pero, ¿cuántas frutas tienes entre ustedes?

Bueno, cada uno tiene dos cocos:

2 (cocos) x 2 (personas) = ​​4 cocos totales

Y cada uno tiene tres plátanos:

3 (plátanos) x 2 (personas) = ​​6 plátanos totales

Guau. Cuatro cocos en total y seis plátanos en total. Pero, ¿cuánta fruta total hay entre ustedes?

4 (cocos) + 6 (plátanos) = 10 (fruta total)

¿¡QUÉ!? ¿Tienes DIEZ piezas de fruta en total? Ustedes chicos son geniales

Por supuesto, puedes cortar las bananas o cortar el coco, pero creo que he demostrado mi punto. Las matemáticas básicas no son teóricas. Se basa en la realidad y en el SER físico y fáctico.

(nota: escribí todo esto en mi iPhone a las 3 de la mañana. Si hay algún error, no dudes en morderme).

Answer 11

¿Por qué 1 + 1 = 2?

No solo me digas “Simplemente lo hace”.

Puedo ver muchas respuestas complicadas con muchos teoremas y todo. Supongamos que tiene que explicárselo a un niño y luego responder.

Simplemente lo hace. No puede decir que la respuesta a la pregunta no es la respuesta a la pregunta.

Es una afirmación verdadera porque (casi) todos están de acuerdo con el significado de las palabras y los símbolos, y más en matemáticas que en cualquier otra área. Si te dijera que te daré helado, y luego te entregaré un pepinillo señalando y diciendo “Cuando uso la palabra ‘helado’, me refiero a esto” … te enojarías conmigo. Y con razón. Estoy abusando del lenguaje si hago eso. Hay una palabra, ‘helado’, y tiene un significado. Si uso la palabra para significar algo diferente, estoy haciendo la vida más difícil para todos. No hay una buena razón para hacerlo.

Si dice “1 + 1 = 2 es falso”, o incluso “1 + 1 = 2 puede ser falso”, está utilizando palabras (/ símbolos) que tienen un significado para significar algo diferente. Eliges dificultar la comunicación contigo, eliges hacer la vida más difícil para todos. La razón de “(casi)” es porque algunas personas eligen hacer la vida más difícil para todos.

No seas una de esas personas.

EDITAR: Esta pregunta se ha fusionado repetidamente con la pregunta diferente:

¿Qué es una prueba simple y corta para 1 + 1 = 2?

Una prueba matemática es una secuencia de enunciados de manera que cada enunciado

1) es un axioma

o

2) se deduce de una o más de las declaraciones anteriores, por una regla de inferencia.

Por lo tanto, las pruebas dependen de los axiomas con los que comienzas y qué reglas de inferencia se te permiten.

En cualquier sistema de lógica donde 1 + 1 = 2 es un axioma, entonces, tienes la prueba más corta y simple:

1 + 1 = 2

QED

Answer 12

Bueno, ¿qué tipo de respuesta estás buscando aquí?

La mayoría de la gente lucharía por encontrar una respuesta exacta aquí. Una maestra de preescolar levantaría una naranja y una manzana y afirmaría que tienen dos frutas. Algunos sabios podrían intentar dar una prueba de que uno es realmente igual a dos.

Pero, ¿por qué uno más uno es igual a dos? La respuesta es: simplemente lo hace.

Las matemáticas, como el inglés y otros idiomas, son un método para interpretar el mundo que nos rodea. Mientras que las naciones crearon idiomas para describir objetos en el mundo físico, el mundo creó las matemáticas para describir ideas abstractas. La matemática es una ilustración de conceptos que no tenemos la capacidad de comprender; puede tener una manzana o una naranja, pero no solo “una”. Y como lenguaje, las matemáticas tienen palabras y definiciones para esas palabras.

Tomemos el inglés como ejemplo. La palabra “perro” describe “un mamífero carnívoro domesticado que generalmente tiene un hocico largo, un agudo sentido del olfato y una voz de ladrar, aullar o quejarse”. Gracias Google.

Pero, ¿por qué es “perro”? ¿Por qué esas tres letras?

Estoy bastante seguro de que puedes adivinar la respuesta: simplemente lo hace.

Claro, se podría argumentar que proviene de una raíz oscura de un idioma olvidado hace mucho tiempo, pero todo se reduce a un tipo que dice: “Oye, perro parece un buen nombre para esa cosa”.

Y así, las matemáticas, como todos los idiomas, tienen términos, que consisten en todos los números, operadores, constantes, funciones, todos los cuales tienen definiciones formadas por las decisiones colectivas de la sociedad. La definición de Two es “uno y uno”.

Pero si quieres un idioma donde uno más uno no sea igual a dos, por supuesto, sigue adelante y crea uno.

Answer 13

Desde mi punto de vista,

Existen algunos teoremas (que en realidad son un solo teorema pero escritos en diferentes palabras), por los cuales puede resolver cualquier problema.

Por ‘cualquiera’ quiero decir literalmente Cualquier problema de cualquier campo en cualquier momento en cualquier situación y creo que uno de ellos es la ” Ley de conservación de la masa” universalmente aceptada (Conservación de la masa). Según este teorema,

La misa no puede ser creada ni destruida.

Otro teorema universalmente aceptado que creo que puede usarse para resolver cualquier problema es la “Ley de Conservación de la Energía” (Conservación de la energía). Según este Teorema,

La energía no puede ser creada ni destruida.

Ahora para corroborar mi hipótesis anterior,

Si los 2 teoremas anteriores son elegibles para resolver cualquier problema, entonces deben estar conectados, es decir, solo difieren en palabras y, de hecho, estos dos principios de conservación están conectados por la famosa relación de masa de energía de Albert Einstein:
E = (m) ∗ (c2) [matemática] E = (m) ∗ (c2) [/ matemática], donde E = Energía, m = masa, c = velocidad de la Luz. (Equivalencia masa-energía) (Para personas que no son matemáticas (c2 significa c ∗ c)).

Ahora llegando a la Prueba de 1 + 1 = 2: (Usando “Conservación de la Misa”)

Vamos a entender esto con un ejemplo :
Con 1 Kg de Arcilla Negra + 1 Kg de Arcilla Blanca solo puedes obtener 2 Kg de Arcilla Gris y no más ni menos que eso, esto es así porque no puedes crear nada ni puedes destruir, solo puedes convertir y luego algunas personas pueden elegir dilo como “su creación”.
Entonces, el punto es que al agregar 2 ‘unos’ obtendrás 2 solo y no 1 o 3 por la misma razón por la que no puedes crear nada ni puedes destruir.

PD: Espero que la forma en que se ha utilizado la lógica, es decir, la Ley de Conservación de la Misa para probar un problema trivial como 1 + 1 = 2, resulte ser fascinante.

Answer 14

” Abstracción ” es la palabra clave aquí.

¿Qué es la abstracción, entonces?

Míranos hace unos millones (¿miles de millones?) Hace años, esos años de caza y recolección, cuando aprendimos a domesticar ovejas. Necesitábamos alguna forma de llevar la cuenta de nuestras ovejas.

A alguien se le ocurrió una idea brillante. Comenzó a guardar una pequeña piedra por cada oveja que tenía. Su esposa hizo una linda bolsa de piel de oveja para guardar las piedras. Cada vez que necesitaban contar las ovejas, hacían coincidir una piedra con cada oveja. Una piedra sin igual, falta una oveja. Una piedra menos, una oveja extra se unió al duro.

Pronto sus dificultades crecieron. Las piedras tienen peso, por lo que las bolsas de piedras comenzaron a pesar más. Es difícil llevar una gran bolsa llena de piedras, por lo que inventaron otra forma. Intentaron usar pequeños palos que tenían menos peso que las piedras.

Entonces a alguien se le ocurrió otra idea brillante. Comenzaron a poner un palo como marca en las paredes de sus cuevas con una marca que representa una oveja. Una oveja, una marca (como “I”), dos ovejas, dos marcas, (“II”), n ovejas, n marcas (III ….. I – n no.s) y así sucesivamente. Todavía era engorroso llevar la cuenta de grandes números. Por lo tanto, a un genio perezoso se le ocurrió usar diferentes marcas individuales para diferentes recuentos y comenzamos a llamar a este “sistema de números”.

Ahora, como dijo David Joyce , dos es el nombre de 1 + 1. Ya sean dos piedras, palos, marcas como palos (I, II, …) o símbolos como I, II, III, IV, V … o 1, 2, 3, … o ১, ২, ৩, ৪, … .. (alfabeto asamés) y así sucesivamente. No importa cómo lo llames o cómo lo escribas, dos piedras / palo / marca significa 2 ovejas (o lo que sea) y para hacerlo debe haber dos piedras / palo / marcas, es decir, ovejas.

Esta es una abstracción matemática. Y es poderoso.

Answer 15

Todo el mundo parece estar respondiendo esta pregunta con el postulado de inducción o su equivalente, que desde el punto de vista de la teoría numérica es correcto y correcto, pero 1 + 1 = 2 es mucho más general que esto. Creo que el físico teórico, Kevin Knuth, de SUNY, Albany, Nueva York, ha desarrollado la mejor respuesta a esta pregunta en su ensayo FQXi, “Los roles más profundos de las matemáticas en las leyes físicas”. Utiliza la “ubicuidad de la aditividad” para explicar el misterio que rodea la “efectividad inexplicable de las matemáticas en la física”.

Básicamente, Knuth demuestra que la aditividad solo se aplica en situaciones restringidas por el orden, la conmutatividad y la asociatividad, y es la cuantificación de estas situaciones lo que conduce a la aditividad; de hecho, es la ecuación funcional conocida como ecuación de asociatividad la que conduce inmediatamente a medidas aditivas.

Comenzamos con varios objetos, ovejas, lápices, piedras, centavos, lo que sea; de manera abstracta, estos son solo elementos en un conjunto. Luego tratamos de ordenar estos elementos usando varios esquemas de ordenamiento lógico, ya sea establecer inclusión, implicación, min / max, lo que sea. Luego tenemos una tendencia a cuantificar este esquema de ordenamiento colocando valores en los elementos; Estos valores están restringidos por el orden y las simetrías. Son estas restricciones las que conducen inmediatamente a medidas aditivas y estas medidas aditivas son ubicuas en las ciencias físicas.

Knuth demuestra que las simetrías, la conmutatividad y la asociatividad son más fundamentales que la aditividad al derivar la aditividad de estas simetrías y afirma, razonablemente, que estas simetrías se inducen mediante la observación del mundo físico. El salto lógico del mundo físico al abstracto se realiza cuando nosotros, o nuestros antepasados ​​de todos modos, establecimos una correspondencia uno a uno entre, digamos, ovejas en el campo y piedras en una bolsa de cuero.

Recomiendo leer el artículo de Knuth, es una pequeña excursión muy satisfactoria a través de los fundamentos y responde a la pregunta planteada con bastante éxito.

Answer 16

La respuesta más corta que podría ofrecer (reconociendo libremente la sugerencia de John Charlton de referir a la gente a los Principia Mathematica como igualmente excelente) sería decir que las matemáticas son un “juego” axiomáticamente definido con “piezas” y reglas, y que, según las reglas de El uso común de las matemáticas de base 10, y sus convenciones de numeración, orden y las reglas de suma, 2 es el resultado de sumar uno a uno.

Puede pensar en los enteros como “marcadores de milla” medidos desde un punto arbitrario declarado (cero). Lo que estás haciendo, al agregar uno a uno, es decir, en esencia, “¿dónde terminaré, si viajo la distancia de cero a uno, comenzando por uno?” Dado que la distancia entre cero y uno es el intervalo de enteros, cada punto alcanzado desde un entero que recorre la distancia del intervalo de un entero (o múltiplo del mismo) llegará a otro entero. (Piense en esto como el intervalo arbitrario de una milla. Si está parado en un marcador de millas en una carretera y viaja una milla, o dos millas, o diez millas, terminará en otro marcador de millas.) Viajando uno el intervalo desde el marcador de “una” milla lo llevará al siguiente marcador de milla, que, según la secuencia de enteros, es dos.

¿Por qué dos? Porque creamos una lista arbitraria de nombres para enteros, y elegimos nombrar ese punto “dos”. No hay ninguna razón por la que no podríamos haberle dado otro nombre, por ese es el nombre que le dimos, y por las reglas lógicamente consistentes del juego que llamamos matemáticas, eso es lo que hace la operación de suma, y ​​ese es el punto que es un solo entero intervalo por delante de uno en la secuencia de números positivos. Por supuesto, si estuvieras trabajando con base-2, las reglas de adición no cambiarían, y la naturaleza de “dos” no cambiaría, pero su modo de expresión cambiaría, y lo escribirías como “10 “. Sin embargo, eso no lo haría “diez”, seguiría siendo dos, solo escrito de manera diferente, porque las reglas de expresión numérica habían cambiado.

Por la misma razón por la que rodar demasiados dobles en Monopoly finalmente te lleva a la cárcel, por la misma razón por la que los comodines son salvajes en algunos juegos de cartas, 1 + 1 = 2: las reglas del juego se definen para que esto sea así. Math es solo un juego muy especial, lógicamente consistente, uno que puede ser más útil para predecir comportamientos en el mundo real que Monopoly o poker, ya que podemos aplicar las matemáticas al mundo real por medio de una especie de álgebra creativa, por lo que desde 1 + 1 = 2, 1 (roca) +1 (roca) debería ser igual a 2 (rocas).

Este fue el tema de un buen escrito por mi parte, hace una década, ¡y les agradezco la oportunidad de discutirlo nuevamente!

Answer 17

Bueno, en este problema se deben observar dos cosas, una es la operación binaria (+) y la otra es la ecuación.

La operación binaria se aplica a dos números y da otro número único.

La definición formal de operación binaria es

“La operación binaria en un conjunto G no vacío es una función que se asocia con cada par ordenado (a, b), de elementos de G, un elemento único, denotado como a × b de G.

Podemos decir que G está cerrado con respecto a ×.

Para todo a, b pertenece a N, a + b pertenece a N.

Entonces, en este ejemplo, el par (1,1) en el que, cuando se aplica la operación binaria, se agrega un elemento único 2.

Como 1 y 1 pertenecen a N, el resultado 2 también pertenece a N.

Otra cosa en esta pregunta es una ecuación.

De acuerdo con la propiedad de una ecuación que necesita para mantener el equilibrio de una ecuación, puede usar cualquier operación en ambos lados hasta que se mantenga el equilibrio de la ecuación, así que reste 1 en ambos lados tiene 1 = 1, o puede escribir el dado ecuación como

1 + 1 = 1 + 1, ..

Entonces podemos decir que la ecuación dada cumple la propiedad de la operación binaria y mantiene la propiedad de una ecuación.

Por lo tanto, 1 + 1 = 2.

Otra cosa es en matemáticas, usamos la notación “1” para la unidad y “2” para dos unidades … si hubiéramos usado “3” para dos unidades que 1 + 1 = 3 hubiera estado bien. Pero ahora como usamos “2” como convención, usar 3 o cualquier otro número sería incorrecto. Los números no son más que anotaciones abstractas que se usan para mostrar cosas concretas.

Answer 18

Todos seguimos una norma. Tiene que haber un estándar que el mundo tenga que seguir, de lo contrario habría caos en todas partes.

1 + 1 no necesita ser 2 siempre. ¿Qué pasaría si siguiéramos un sistema de números unarios = 1+ 1 = 11
En el sistema de números binarios 1 + 1 = 10

Seguimos el sistema de números decimales. Si no hubiera un estándar, cada uno de nosotros asumiría nuestro propio estándar y la existencia sería muy difícil.
Para traer un campo de juego nivelado para los cálculos -> 1 + 1 = 2.

Mañana uno puede venir y decir 1 + 1 = 3. Si todos están de acuerdo y siempre y cuando todos lo sigan, se acordará la solución. Si traemos este pequeño cambio, todo lo que Mathematics representa hoy, tiene que cambiar, que es la teoría simple detrás de la teoría del caos.

Estas normas se han seguido durante más de 2000 años.
Tenemos preguntas más profundas para reflexionar, en lugar de esto.

Answer 19

Explicación para un niño: si tiene un montón de cosas, puede contarlas diciendo 1, 2, 3, 4 para cada cosa. Esto te dice la cantidad de cosas que tienes. Si tiene una cosa y tiene una diferente, y las junta y las cuenta, siempre tendrá 2 cosas porque puede contar “1” para una cosa y “2” para la otra. Esto funciona para centavos y elefantes y aviones.

La misma idea en términos más formales: necesitamos algunas definiciones axiomáticas, a saber, objeto discreto, conjunto ordenado y correspondencia 1: 1. Un objeto discreto es algo que tiene una existencia identificable separada de otras cosas. Un conjunto es un grupo de diferentes objetos discretos considerados juntos. Un conjunto ordenado es un conjunto donde los objetos siempre se consideran en un orden específico. Una correspondencia 1: 1 es una relación entre dos conjuntos de manera que cada objeto en el conjunto A está asociado con un objeto único en el conjunto B, y cada objeto en ambos conjuntos está asociado exactamente una vez.

Considere un conjunto ordenado infinito de nombres distintos pero arbitrarios, {1, 2, 3, 4, …}. Llame a esto el conjunto de números de conteo, C. Considere cualquier conjunto no vacío S. Construya una correspondencia 1: 1 entre S y el subconjunto ordenado, D, de C que tiene solo el número de números necesarios para completar la correspondencia 1: 1 . Esto define el proceso de conteo, y el último número en D se llama cardinalidad de S, también conocido como el número de objetos en S. Defina la suma como una operación que mapea la cardinalidad de dos conjuntos con elementos globalmente distintos a la cardinalidad de la unión de los dos conjuntos.

Luego, construya un conjunto A que contenga solo un objeto a, y un conjunto B que contenga solo un objeto b, distinto de a. Luego considere el conjunto C que contiene todos los objetos que están en A y B juntos. Cuente estos objetos para asignar (a, b) a (1, 2). Por lo tanto, la cardinalidad de C es 2. QED

Tenga en cuenta que no necesitaba inventar números cero o negativos. No necesitábamos contar los números más allá del 2 para la prueba formal, pero debes explicarle “2” a un niño. Del mismo modo, la prueba formal que se detiene en 2 sería insatisfactoria, incluso para un matemático. Es interesante que tuviera que seguir diciendo “distinto” con los conjuntos. Esto se debe a que, por ejemplo, si pongo a los tres niños que tienen nueve años, y a los tres niños que se llaman John en mi automóvil, ¡no necesariamente tengo seis niños! Tenga en cuenta que la prueba formal es mucho más larga porque el matemático no es tan inteligente como el niño.

Answer 20

Ya hay dos excelentes respuestas, pero déjame profundizar un poco más en esto. Cuando lees una igualdad como [matemática] 1 + 1 = 2 [/ matemática] no debes leerla como una descripción de un proceso, al menos cuando estás haciendo matemática. Es una relación. Es algo que es cierto o no. Si algo es cierto, es “siempre” cierto. No es una descripción del proceso de agregar 1 y 1 que de alguna manera debe tener un símbolo definido y único como salida. Por ejemplo, como usted dice, también es cierto que [matemáticas] 1 + 1 = 10_2 [/ matemáticas]. No hace que sea menos cierto que [matemática] 1 + 1 = 2 [/ matemática]. Simplemente significa que las expresiones [matemáticas] 1 + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 10_2 [/ matemáticas] denotan el mismo objeto.