Comenzaré asumiendo que sabe cómo demostrar que [math] \ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ math] es un grupo bajo multiplicación matricial.
Lo primero que debemos pensar es esto: ¿Qué tenemos que mostrar para determinar si [math] H \ cong (\ mathbb {R}, +) [/ math]?
Lo primero que debemos mostrar es que existe una función biyectiva entre [math] H [/ math] y [math] \ mathbb {R} [/ math].
Deje [math] \ phi: H \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] definido por
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[matemáticas] \ phi (\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}) = a [/ math].
Para mostrar que [math] \ phi [/ math] es inyectivo, hacemos lo siguiente.
Suponga que [math] \ phi (\ begin {bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}) = \ phi (\ begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}) [/matemáticas]. Entonces [matemáticas] a = b [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] \ phi [/ math] es inyectivo.
Para mostrar que [math] \ phi [/ math] es surjective, hacemos lo siguiente.
Suponga que [math] b \ in \ mathbb {R} [/ math]. Queremos mostrar que existe una [matemática] a \ en H [/ matemática] tal que [matemática] \ phi (a) = b [/ matemática]. Deje que [math] a = \ begin {bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ math]. Entonces [math] \ phi (a) = b [/ math]. Por lo tanto, [math] \ phi [/ math] es surjective.
Como [math] \ phi [/ math] es tanto inyectiva como surjective, [math] \ phi [/ math] es bijective.
Por último, debemos mostrar que la operación se conserva.
Esencialmente, queremos mostrar que:
[matemáticas] \ phi (XY) = \ phi (X) + \ phi (Y) [/ matemáticas].
Deje que [math] X = \ begin {bmatrix} 1 & a_1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ math] y [math] Y = \ begin {bmatrix} 1 & a_2 \\ 0 & 1 \ end { bmatrix} [/ math]. Consideremos [math] \ phi (XY) [/ math].
Después de realizar la multiplicación de la matriz, vemos que:
[matemáticas] \ phi (XY) = \ begin {bmatrix} 1 & a_1 + a_2 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} = a_1 + a_2 = \ phi (X) + \ phi (Y) [/ math].
Por lo tanto, [math] \ phi (XY) = \ phi (X) + \ phi (Y) [/ math].
Por lo tanto, [math] H \ cong (\ mathbb {R}, +) [/ math]. [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]
¡Espero que ayude! También es útil tener en cuenta que la última propiedad que mostramos se llama homomorfismo grupal.