Deje [math] G [/ math] ser una matriz de la forma [math] \ begin {bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \ end {bmatrix} [/ math] o [math] \ begin {bmatrix} 0 & a \\ b & 0 \ end {bmatrix} [/ math] con [math] a, b \ in [/mathicsoft{[mathfont>-1,1[/mathfont>}.How encuentra todos los subgrupos de [math] G [/ matemáticas]?

Answer 1

Supongo que [math] G [/ math] no es una matriz, sino el conjunto de matrices de esas formas, y la operación del grupo es la multiplicación. Esto es lo único que tiene sentido para mí. No es difícil verificar que este es realmente un grupo; lo que cada matriz hace aquí es intercambiar filas / columnas y multiplicar elementos por [math] \ pm 1 [/ math].

De todos modos, hay ocho de esas matrices. Fácil de ver eso. Vamos a determinar qué tipo de grupo tenemos.

La matriz de identidad, [matemáticas] I: = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] es nuestra identidad de grupo.

Por otro lado, las matrices [matemáticas] A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} [/ math] y [math] -A [/ math] tienen orden 2. Además , si [math] J [/ math] es la matriz de identidad inversa, [math] \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math], [math] J [/ math] tiene orden 2 también.

Verificamos si [math] G [/ math] es abelian; si es así, esto es muy fácil debido al teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados. Desafortunadamente, [matemáticas] G [/ matemáticas] no lo es. Para ver esto, en un grupo abeliano, la conjugación corrige cada elemento. Sin embargo, [matemáticas] JAJ = -A [/ matemáticas]. De hecho, esto nos permite concluir que [math] JA [/ math] tiene el orden 4, porque [math] JAJA = -I [/ math]. Del mismo modo, [math] AJ = -JA [/ math] tiene orden 4, y [math] AJ [/ math] genera un grupo cíclico de orden 4.

Por lo tanto, un grupo nobeliano de orden 8 debería hacernos sospechar los cuaterniones o el grupo diédrico. Ahora, tenga en cuenta que [matemáticas] J (AJ) J = JA = (AJ) ^ {- 1} [/ matemáticas], y entonces lo que tenemos aquí es el grupo diédrico de orden 8 (también conocido como el grupo de simetrías de el cuadrado) con [matemáticas] AJ [/ matemáticas] desempeñando el papel de una rotación de 90 grados y [matemáticas] J [/ matemáticas] desempeñando el papel de una reflexión.

En cuanto a encontrar los subgrupos, debería poder encontrar diez. Afortunadamente, todos los subgrupos apropiados son de orden a lo sumo 4, y por lo tanto definitivamente abelianos; esto facilita las cosas de tu parte. Sugerencia: intente elegir generadores (entre [matemáticas] I, -I, J, -J, A, -A, AJ, -AJ [/ matemáticas]) y vea lo que obtiene. También he dado las órdenes de algunos de los elementos, para que sepan cómo son sus grupos cíclicos.

Answer 2

Su declaración de la pregunta es un poco descuidada. Primero G es una matriz de una de las formas anteriores, pero luego pregunta acerca de los subgrupos de G. Pero una matriz no tiene subgrupos, solo los grupos tienen subgrupos. Entonces, supongo que quiere decir que G es el grupo que consiste en las matrices que describe. Entonces la pregunta tiene sentido. La primera pregunta que debe hacerse es: ¿cuál es el orden del grupo, es decir, cuántos elementos tiene? Luego hay un teorema útil, que probablemente haya aprendido, que dice que el orden de un subgrupo divide el orden del grupo mismo. Esto restringe el número de posibles pedidos. Ayuda un poco si sabes cuáles son las posibles estructuras de grupos de un orden (pequeño) dado, así que sabes qué esperar. Y luego puede comenzar buscando subgrupos cíclicos, que son generados por elementos individuales. Pruebe todos los elementos del grupo dado y vea qué subgrupos generan. Luego, vea si puede formar subgrupos más grandes de los que tiene con la ayuda de construcciones conocidas, como tomar productos directos. Si el orden del grupo es grande y tiene muchos divisores primos, el procedimiento podría ser difícil (el primer caso difícil es el orden 16, aunque algunos pueden estar en desacuerdo), pero en este caso los pasos que he descrito pronto le darán todos los subgrupos.