¿Cuál es la diferencia entre infinito vs indefinido en matemáticas?

En primer lugar, recuerda que el infinito no es un número. Es un concepto que significa “mayor que cualquier número que pueda especificar”. Cuando decimos que el límite de 1 / x ^ 2 como x -> 0 = ∞, no queremos decir eso en sentido literal, porque “=” realmente solo se aplica a números reales, lo que ∞ no es … Queremos decir que el límite no existe, ya que 1 / x ^ 2 se vuelve arbitrariamente grande.

Cuando decimos que el límite de algo = L, queremos decir que se acerca arbitrariamente a L. No puedes acercarte arbitrariamente a ∞.

Aquí hay una definición de indefinido:
“Una expresión en matemáticas que no tiene significado y, por lo tanto, a la que no se le asigna una interpretación. Por ejemplo, la división por cero no está definida en el campo de los números reales”.

Suponga que tiene una función f (x) = (x ^ 2 – 1) / | x-1 |. La función indicada no está definida ya que no puede calcular el valor en x = 1. Puede definir f (x) para que tenga un valor en x = 1 e incluso hacerlo continuo. Pero como está escrito, no puede calcularlo a partir de la fórmula dada, por lo que no está definido allí.

Algo que no está definido a menudo llegará al infinito, pero los conceptos son diferentes.

Otro concepto del que podría preguntarse es el de ser “indeterminado”. Por ejemplo, lim x -> ∞ de (3x ^ 7 + 5x) / (2x ^ 7 + 7). Tanto el numerador como el denominador van a ∞. Sin embargo, hay técnicas (como la Regla de L’Hopital) que muestran que el límite existe y cuál es (es 3/2).

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Hay bastantes expresiones que no están definidas, pero aquí, como se pregunta la diferencia entre infinito e indefinido, consideraré indefinido como x / 0. Además, usaré la frase ‘no definido’ en lugar de indefinido aquí para explicar mejor lo que quiero.

Todo depende de cómo quieras verlo. Si desea averiguar el rango en el que se encuentra una variable, puede usar el infinito. El infinito no puede considerarse un número, eso se debe a que su uso, aplicación, percepción, etc. varía de persona a persona, no solo en el tema de las matemáticas, sino también en la física.

‘No definido’ es algo que no se puede definir; en realidad no sirve de nada, pero aún así esta función aparece. Esta función suele tener la forma x / 0 (donde x es un número finito). Verá, x / 0 es una expresión inútil en la vida real, pero aún en matemáticas y física tenemos que lidiar con eso.

Ahora llegando a la diferencia, no hay mucho que separe a los dos. Ambas expresiones son indefinidas. Con esto, quiero decir que no puedes definir ninguno de ellos. ‘No definido’ en sí mismo no está definido; el infinito tampoco se puede definir tan bien que todas las personas acepten la definición de todo corazón. La única diferencia que veo está en el uso. x / 0 no se usa en la vida real, pero el infinito se usa a menudo para describir algo sin límites. Esa es probablemente la única diferencia que veo.

Cuando algo no está definido, significa literalmente que la definición no se aplica a la situación que está considerando. Por ejemplo, [math] 3 \ times [/ math] blue no está definido porque la definición habitual de multiplicación requiere que multiplique dos números reales (o números complejos o matrices o …). Como el azul no es un número real, la operación no está definida.

Del mismo modo, si estamos restringiendo nuestra atención a los números reales, [math] \ sqrt {-9} [/ math] no está definido. Y, por supuesto, como suele ser el caso en matemáticas, cuando nos encontramos con una situación en la que algo no está definido, es común preguntarse si podemos ampliar la definición de una manera útil para incluir la nueva situación. Entonces, aunque [math] \ sqrt {-9} [/ math] no está definido cuando consideramos solo números reales, podemos extender la definición de la raíz cuadrada de una manera que haga que [math] \ sqrt {-9} [/ matemática] perfectamente bien definida (e igual a 3 i ).

Infinito es un concepto matemático que se refiere a una cantidad que es mayor que cualquier número real. Por ejemplo, la secuencia 1, 2, 3, … crece más que cualquier número real, por lo que podríamos decir que “se acerca al infinito”. De manera similar, si tengo una secuencia de números positivos, [math] a_n [/ math], con la propiedad de que [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 0 [/ math], resulta que la secuencia de números, [math] \ frac 1 {a_n} [/ math], crece más grande que cualquier número real, así que nuevamente, podríamos decir que se acerca al infinito.

Estas dos ideas a menudo se confunden en una situación como: “¿Qué es [matemáticas] \ frac 1 {0} [/ matemáticas]? Al principio, esta pregunta se parece mucho a la discusión anterior sobre el límite de [matemáticas] \ frac 1 {a_n} [/ matemáticas]. Los estudiantes se sienten tentados a afirmar que [matemáticas] \ frac 10 = \ infty [/ matemáticas]. Pero esto no es correcto. La operación de división [matemática] \ frac xy [/ matemática] se define para cualquier número real [matemática] x [/ matemática] y cualquier número real distinto de cero [matemática] y [/ matemática]. Cuando decimos que no puedes dividir por cero, lo decimos literalmente. La división por cero simplemente no está definida.

Debería sentirse tentado a hacer la pregunta natural: “¿Podemos ampliar la definición de división de una manera razonable para permitir la división por cero? Tal vez deberíamos definirlo como igual a [math] \ infty [/ math] ”. Hay dos problemas con dicha extensión. La primera es que normalmente queremos que la operación de división dé como resultado un número real (o número complejo), pero el infinito no es un número real (o complejo). Pero eso no es realmente un gran problema, podemos solucionar ese problema con bastante facilidad simplemente incluyendo [math] \ infty [/ math] en el conjunto de posibles resultados para la división.

El mayor problema con tal extensión es que dividir uno por una secuencia de números positivos que se acerca a cero crece sin límite al infinito, pero dividir uno por una secuencia de números negativos que se acerca a cero crece sin límite al infinito negativo. Y lo que es peor, si dividimos uno por una secuencia de números que se acerca a cero y tiene un signo alterno, el resultado crece sin límite, pero el signo se alterna para que no se acerque al infinito o al infinito negativo. Entonces, ¿cómo podemos definir [matemáticas] \ frac 10 [/ matemáticas] de una manera útil cuando las cosas que se comportan como [matemáticas] \ frac 10 [/ matemáticas] no se comportan de manera consistente? Por esta razón, generalmente dejamos [math] \ frac 10 [/ math] indefinido en lugar de tratar de definirlo de una manera que parece inconsistente con cómo nos gustaría usarlo.

Bueno, ciertamente no son lo mismo. Infinito es una idea para representar el tamaño de algo, ya sea un número o lo que sea, también se usa ampliamente fuera de las matemáticas. El término indefinido en matemáticas significa que no puede expresarse de manera uniforme. Un buen ejemplo de esto es [math] \ sqrt {-1} [/ math] que está claramente indefinido sobre el conjunto de números reales. Sin embargo, los matemáticos crean nuevas áreas de matemáticas para usar esto, es decir, el campo complejo. Entonces, la diferencia entre ellos es que el infinito es una cosa inventada, una idea que representa el tamaño relativo, sin embargo, sigue obedeciendo las leyes de las matemáticas. Mientras que indefinido significa algo más, esencialmente significa que no puede expresarse de una manera que obedezca las leyes de Mathuc.

Para decirlo en términos simples, infinito es un número infinitamente grande. Recuerde que tiene una existencia válida (aunque insondable) de acuerdo con las reglas de las matemáticas. Una forma de representarlo es

lim (x tiende a 0) (1 / x).

Pero, por otro lado, si algún término se considera indefinido, no puede evaluarse más adelante utilizando las reglas de las matemáticas; es decir. Lógicamente, su existencia no puede justificarse.

1/0 no está definido, ya que dividir algo entre 0 no tiene sentido. (y viola las reglas matemáticas)

¡Espero haber aclarado tu duda! 🙂

La división también es un concepto. Pero su definición no incluye dividir por cero, por lo que si alguien dice qué es x dividido por cero, la respuesta no está definida porque la definición de división no incluye este escenario. De hecho, la definición en realidad excluye la división por cero.

El infinito es un concepto de proceso limitante, hay muchos de ellos. Indefinido se usa para indicar que las funciones no están definidas para valores que no están en el dominio o que las operaciones no están definidas como la división por cero.

El infinito tiene propiedades definidas y se usa en ciertos lugares. Las cosas indefinidas no significan nada.

Infinity es solo una forma abreviada de decir: “Este proceso nunca se detiene”.

Indefinido significa “no hay una definición para esto en nuestras matemáticas”. Lo cual es, más o menos, creo, lo que intuitivamente supondría que significa “indefinido”.

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