Dado [matemática] 0 <A <B <C [matemáticas] \ frac {sinA + sinB + sinc} {3} [/ matemáticas]

Creo que usar la identidad Solo trigonometría es una forma muy fácil de hacerlo, intentemos esto con el gráfico [math] sinx [/ math]

Como A, B, C son ángeles de un triángulo sin perder generalidad, podemos suponer que [matemáticas] 0 <A <B <C <180 [/ matemáticas]

Como se muestra arriba en la imagen, tengo un gráfico sinx entre (0 [matemática], pi) [/ matemática]

Vamos a trazar [matemáticas] A (A, sinA) [/ matemáticas], [matemáticas] B (B, senB) [/ matemáticas], [matemáticas] C (C, sinc) [/ matemáticas] en el gráfico como se muestra en la figura

Como ABC es un triángulo, su centroide estaría dentro de ABC. Aquí en la figura lo denotamos como 0 ([matemática] \ frac {A + B + C} {3} [/ matemática], [matemática] \ frac {sinA + sinB + sinc} {3} [/ matemáticas])

Ahora dibuje una línea perpendicular al eje X que pase por el centroide PoD

[matemáticas] x = \ frac {A + B + C} {3} – (1) [/ matemáticas]

Ahora, dado que la línea (1) intersecta la curva Sinx en
D ([matemáticas] \ frac {A + B + C} {3} [/ matemáticas], sin ([matemáticas] \ frac {A + B + C} {3} [/ matemáticas]))

Ahora de la figura está claro que

[matemáticas] sin (\ frac {A + B + C} {3})> \ frac {sinA + sinB + sinc} {3} [/ matemáticas]

Primero, el lado izquierdo es [math] \ sin 60 = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} [/ math]. Por AM, GM

[matemáticas] \ frac {{\ sin A + \ sin B + \ sin C}} {3} \ ge \ sqrt [3] {{\ sin A \ sin B \ sin C}} [/ matemáticas]

con igualdad solo cuando

[matemática] \ sin A = \ sin B = \ sin C [/ matemática].

Entonces en un triángulo A = B = C = 60.

El LHS siempre es Sin60 o 0.866

En el caso de un triángulo equilátero, el RHS también sería Sin60, por lo que la desigualdad no es válida.

yo diría que

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