Creo que usar la identidad Solo trigonometría es una forma muy fácil de hacerlo, intentemos esto con el gráfico [math] sinx [/ math]
Como A, B, C son ángeles de un triángulo sin perder generalidad, podemos suponer que [matemáticas] 0 <A <B <C <180 [/ matemáticas]
Como se muestra arriba en la imagen, tengo un gráfico sinx entre (0 [matemática], pi) [/ matemática]
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Vamos a trazar [matemáticas] A (A, sinA) [/ matemáticas], [matemáticas] B (B, senB) [/ matemáticas], [matemáticas] C (C, sinc) [/ matemáticas] en el gráfico como se muestra en la figura
Como ABC es un triángulo, su centroide estaría dentro de ABC. Aquí en la figura lo denotamos como 0 ([matemática] \ frac {A + B + C} {3} [/ matemática], [matemática] \ frac {sinA + sinB + sinc} {3} [/ matemáticas])
Ahora dibuje una línea perpendicular al eje X que pase por el centroide PoD
[matemáticas] x = \ frac {A + B + C} {3} – (1) [/ matemáticas]
Ahora, dado que la línea (1) intersecta la curva Sinx en
D ([matemáticas] \ frac {A + B + C} {3} [/ matemáticas], sin ([matemáticas] \ frac {A + B + C} {3} [/ matemáticas]))
Ahora de la figura está claro que
[matemáticas] sin (\ frac {A + B + C} {3})> \ frac {sinA + sinB + sinc} {3} [/ matemáticas]