La intención de esta respuesta es calcular este límite de principio a fin sin usar la Regla de L’Hôpital o las herramientas relacionadas que usan derivados. Como tal, [math] \ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x} {\ ln \ left (x \ right)}} = \ infty [/ math] no se puede usar sin pruebas separadas, porque la prueba más fácil de eso usa la Regla de L’Hôpital.
Primero, la distribución del límite sobre la aritmética se puede usar para deshacerse de los términos adicionales en el numerador y el denominador.
[matemáticas] \ lim \ límites _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right) + \ ln \ left (x \ right) + 1}} [/ math]
[matemáticas] = \ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3 \ left (\ dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1} {x ^ 3} \ right)} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right) \ left (\ dfrac {\ ln ^ 2 \ left (x \ right) + \ ln \ left (x \ right) + 1} {\ ln ^ 2 \ left ( x \ right)} \ right)}} [/ math]
- ¿Cuál es el radio de convergencia de 1 / cosecx?
- ¿Cuál debe ser el valor de k para que la función y = x ^ 4 + x ^ 3 + kx tenga una línea de simetría?
- ¿En qué punto la tangente de y = sinx-cosx es paralela a y = x?
- ¿Por qué [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas]?
- Cómo resolver [math] \ int_ {0} ^ {\ pi} (\ ln (a ^ 2 + 2a \ cos (x) + 1)) dx [/ math] de la manera más fácil posible
[matemáticas] = \ left (\ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right)}} \ right) \ left (\ dfrac { \ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1} {x ^ 3}}} {\ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {\ ln ^ 2 \ left (x \ right) + \ ln \ left (x \ right) + 1} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right)}}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ left (\ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right)}} \ right) \ left (\ dfrac { \ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ left (1 + x ^ {- 1} + x ^ {- 2} + x ^ {- 3} \ right)}} {\ lim \ limits _ { x \ rightarrow \ infty} {\ left (1 + \ left (\ ln \ left (x \ right) \ right) ^ {- 1} + \ left (\ ln \ left (x \ right) \ right) ^ { -2} \ right)}} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ left (\ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right)}} \ right) \ left (\ dfrac { 1 + 0 + 0 + 0} {1 + 0 + 0} \ derecha) [/ matemática]
[matemáticas] = \ lim \ límites _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right)}} [/ math]
En este punto, el método más prometedor es la Regla de L’Hôpital o alguna otra cosa que finalmente utilice la derivada de [math] \ ln \ left (x \ right) [/ math] siendo [math] \ dfrac {1} { x} [/ matemáticas]. Sin embargo, se explorará si el límite se puede evaluar sin usar esto.
En cambio, se puede hacer una sustitución [math] u = \ ln \ left (x \ right) [/ math] para simplificar el problema. Da:
[matemáticas] \ lim \ límites _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right)}} [/ math]
[matemáticas] = \ lim \ límites _ {u \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {\ left (e ^ u \ right) ^ 3} {u ^ 2}} [/ math]
Ahora hay métodos para evaluar este límite que implican que la derivada de [math] e ^ u [/ math] es [math] e ^ u [/ math]. Sin embargo, el uso de cualquiera de esos métodos anula el propósito de no usar la fórmula derivada para [matemáticas] \ ln \ left (x \ right) [/ math].
En cambio, este límite puede reescribirse como:
[matemáticas] \ lim \ límites _ {u \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {\ left (e ^ u \ right) ^ 3} {u ^ 2}} [/ math]
[matemáticas] = \ lim \ límites _ {u \ rightarrow \ infty} {e ^ u \ left (\ dfrac {e ^ u} {u} \ right) ^ 2} [/ math]
Lo que ahora se necesita es mostrar que para todos los suficientemente grandes [math] u, \ dfrac {e ^ u} {u} \ geq 1 [/ math]. Eso haría que [matemáticas] \ lim \ límites _ {u \ rightarrow \ infty} {e ^ u \ left (\ dfrac {e ^ u} {u} \ right) ^ 2} [/ math] al menos tan grande como [math] \ lim \ limits _ {u \ rightarrow \ infty} {e ^ u} [/ math], que es [math] \ infty [/ math]. Eso haría que el límite original [math] \ infty [/ math].
Para esto, es suficiente mostrar que [math] \ dfrac {2 ^ u} {u}> 1 [/ math], nuevamente para todos los suficientemente grandes [math] u [/ math], como [math] e ^ u> 2 ^ u [/ math] para [math] u> 0 [/ math]. Para eso, es suficiente mostrar que [math] \ dfrac {2 ^ {\ lfloor u \ rfloor}} {\ lceil u \ rceil}> 1 [/ math] para todos los suficientemente grandes [math] u [/ math] , donde [math] \ lfloor u \ rfloor [/ math] es el piso de [math] u [/ math], que es el entero más alto no mayor que [math] u [/ math], mientras que [math] \ lceil u \ rceil [/ math] es el techo de [math] u [/ math], que es el entero más bajo, no menor que [math] u [/ math]. El denominador se puede aumentar aún más a [math] \ lfloor u \ rfloor + 1 [/ math], por lo tanto, es suficiente para mostrar que [math] \ dfrac {2 ^ {\ lfloor u \ rfloor}} {\ lfloor u \ rfloor + 1}> 1 [/ math] para todos los suficientemente grandes [math] u [/ math].
Eso reduce el problema a mostrar que [math] \ dfrac {2 ^ v} {v + 1}> 1 [/ math] para todos los enteros positivos lo suficientemente grandes [math] v [/ math]. Esto se puede mostrar por inducción. Es cierto para [matemáticas] v = 2 [/ matemáticas], como [matemáticas] \ dfrac {2 ^ 2} {2 + 1} = \ dfrac {4} {3}> 1 [/ matemáticas]. Supongamos ahora que [math] \ dfrac {2 ^ v} {v + 1}> 1 [/ math] para una [math] v [/ math] dada. Entonces:
[matemáticas] \ dfrac {2 ^ {v + 1}} {\ left (v + 1 \ right) + 1} [/ math]
[matemáticas] = 2 \ left (\ dfrac {2 ^ v} {\ left (v + 1 \ right) + 1} \ right) [/ math]
[matemáticas] = 2 \ izquierda (\ dfrac {2 ^ v} {v + 2} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 \ left (\ dfrac {2 ^ v} {\ left (v + 1 \ right) \ left (\ dfrac {v + 2} {v + 1} \ right)} \ right) [/ math ]
[matemáticas] = 2 \ left (\ dfrac {2 ^ v} {v + 1} \ right) \ left (\ dfrac {v + 1} {v + 2} \ right) [/ math]
[matemáticas]> 2 \ left (1 \ left (\ dfrac {v + 1} {v + 2} \ right) \ right) [/ math] (por el supuesto de inducción)
[matemáticas] = \ dfrac {2v + 2} {v + 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {v + 2} {v + 2} + \ dfrac {v} {v + 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ geq 1 + 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]
Esto muestra que [math] \ dfrac {2 ^ {v + 1}} {\ left (v + 1 \ right) + 1}> 1 [/ math] también, que completa la inducción. Por lo tanto, para todos los enteros [math] v \ geq 2, \ dfrac {2 ^ v} {v + 1}> 1 [/ math]. Esto ya se demostró que es suficiente para demostrar que [matemáticas] \ lim \ limits _ {u \ rightarrow \ infty} {e ^ u \ left (\ dfrac {e ^ u} {u} \ right) ^ 2} = \ infty [/ math]. Por lo tanto, el límite original [matemáticas] \ lim \ limits _ {x \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1} {\ ln ^ 2 \ left (x \ right) + \ ln \ left (x \ right) + 1}} [/ math] es [math] \ infty [/ math].
