Cómo probar la siguiente ecuación por inducción [matemáticas] 2 | n ^ n + 5n + 2 [/ matemáticas]

Answer 1

Es extraño querer probar por inducción por dos razones:

1. Es muy simple de probar sin inducción.
2. Usando la inducción necesitaríamos casi con precisión la prueba no inductiva para llegar del caso [matemática] n = k [/ matemática] a [matemática] n = k + 1 [/ matemática].

Sin embargo, si la inducción es lo que desea, entonces la inducción tendrá.

Sea [math] f (n) = n ^ n + 5n + 2 [/ math].

Suponga que [math] 2 | f (k) [/ math] para algunos [math] k \ in \ mathbb {N} ^ {+} [/ math].

Sea [math] f (k + 1) = f (k) + d [/ math].

[matemáticas] d = f (k + 1) -f (k) \\ \ \ = (k + 1) ^ {k + 1} +5 (k + 1) + 2- (k ^ k + 5k + 2 ) \\ \ \ = (k + 1) ^ {k + 1} -k ^ k + 5 [/ math].

Ahora mostramos que [math] 2 | d [/ math] (este es el bit donde la inducción requiere prácticamente la prueba no inductiva).

Bueno: uno de [matemática] k [/ matemática] o [matemática] k + 1 [/ matemática] es impar y el otro es par. Por lo tanto, uno de [matemática] k ^ k [/ matemática] o [matemática] (k + 1) ^ {k + 1} [/ matemática] es impar y el otro es par. Por lo tanto, [math] (k + 1) ^ {k + 1} -k ^ k [/ math] debe ser impar. Por lo tanto, [math] d = (k + 1) ^ {k + 1} -k ^ k + 5 [/ math] debe ser par para que [math] 2 | d [/ math].

Tenemos [matemática] 2 | f (k) [/ matemática] y [matemática] 2 | d [/ matemática] para que podamos decir [matemática] 2 | (f (k) + d) [/ matemática]. Pero [matemática] f (k) + d = f (k + 1) [/ matemática] entonces [matemática] 2 | f (k + 1) [/ matemática].

Por lo tanto, hemos demostrado que para [math] \ forall k \ in \ mathbb {N} ^ {+} [/ math], [math] 2 | f (k) \ implica 2 | f (k + 1) [/ math ]

¡Podemos verificar fácilmente [matemáticas] 2 | f (1) [/ matemáticas] y hemos terminado! Hemos demostrado por inducción que [math] 2 | f (k) [/ math] para todos los enteros positivos, [math] k [/ math].

Tenga en cuenta que esto falla para [matemática] k = 0 [/ matemática] porque (generalmente) [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] se define como [matemática] 1 [/ matemática].

Answer 2

Sea [matemática] P (n) [/ matemática] la declaración st [matemática] P (n): n ^ n + 5n + 2 [/ matemática] es divisible por [matemática] 2 [/ matemática]

Ahora tomamos …

[matemáticas] n = 1 [/ matemáticas] entonces …

[matemáticas] P (1) = 1 + 5 + 2 = 8 \ Rightarrow 2 | 8 [/ matemáticas]

Esto muestra que la afirmación [matemáticas] P (n) [/ matemáticas] es verdadera para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]

Ahora consideramos que la declaración dada es verdadera para [math] n = m [/ math]. Entonces podemos escribir …

[matemática] P (m): 2 | (m ^ m + 5m + 2) [/ matemática]

es decir, [matemática] m ^ m + 5m + 2 = 2k_1, k_1 \ in \ mathbb {N} [/ matemática]

Finalmente, tenemos que mostrar que … [matemáticas] P (m + 1) [/ matemáticas] es cierto.

Aquí…

[matemáticas] P (m + 1) -P (m) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (m + 1) ^ {m + 1} +5 (m + 1) + 2-m ^ m-5m-2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (m + 1) ^ {m + 1} -m ^ m + 5 [/ matemáticas]

Lo sabemos…

Sabemos que dos enteros positivos consecutivos deben ser pares e impares.

Entonces, si [matemática] m ~ es ~ impar ~ entonces ~ (m + 1) ~ es ~ par [/ matemática]

Y debemos tener …

[matemáticas] m ^ m ~ es ~ impar ~ y ~ (m + 1) ^ {m + 1} ~ es ~ par [/ matemáticas]

Entonces [math] (m + 1) ^ {m + 1} -m ^ m [/ math] debe ser impar.

es decir, [math] (m + 1) ^ {m + 1} -m ^ m = 2k + 1, k \ in \ mathbb {N} [/ math]

Ahora [matemáticas] (m + 1) ^ {m + 1} -m ^ m + 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2k + 1 + 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 (k + 3) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] P (m + 1) = P (m) +2 (k + 3) [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow P (m + 1) = 2 (k_1 + k + 3) [/ matemática]

Por lo tanto, [matemáticas] P (m + 1): 2 | (m + 1) ^ {m + 1} +5 (m + 1) +2 [/ matemáticas]

Esto muestra que…

La afirmación [matemáticas] P (m + 1) [/ matemáticas] es verdadera.

Por lo tanto, por principio de la primera inducción, decimos que la afirmación dada [matemática] P (n) ~ es ~ verdadera ~ \ forall n \ in \ mathbb {N} [/ math]

Por lo tanto, [math] 2 | (n ^ n + 5n + 2), \ forall n \ in \ mathbb {N} [/ math].

El problema ya está hecho.

Answer 3

Primero probaremos esto sin recurrir a la inducción.

Deje que [math] n [/ math] sea par.

[math] \ Rightarrow \ qquad n ^ n [/ math] es par y [math] 5n [/ math] es par.

[math] \ Rightarrow \ qquad n ^ n + 5n + 2 [/ math] es par.

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 2 | (n ^ n + 5n + 2). [/ matemáticas]

Deje que [math] n [/ math] sea impar.

[math] \ Rightarrow \ qquad n ^ n [/ math] es impar y [math] 5n [/ math] es impar.

[math] \ Rightarrow \ qquad n ^ n + 5n + 2 [/ math] es par.

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 2 | (n ^ n + 5n + 2). [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 2 | (n ^ n + 5n + 2) \, \, \ forall \, \, n \ en N. [/ math]

Ahora para el proceso de inducción.

Considere la proposición [matemáticas] P: 2 | (n ^ n + 5n + 2) \, \, \ forall \, \, n \ en N. [/ math]

Para [matemáticas] n = 1, n ^ n + 5n + 2 = 1 + 5 + 2 = 8 \ qquad \ Rightarrow \ qquad P (1) [/ math] es verdadero.

Suponga que [matemática] P (k) [/ matemática] es verdadera para algún número par [matemática] k \ en N. [/ matemática]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 2 | (k ^ k + 5k + 2). [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad k ^ k [/ math] es par [math] \ qquad \ Rightarrow \ qquad (k + 1) ^ {(k + 1)} [/ math] es impar.

[math] \ Rightarrow \ qquad (k + 1) ^ {(k + 1)} + 5 (k + 1) + 2 [/ math] es par.

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 2 | [(k + 1) ^ {(k + 1)} + 5 (k + 1) + 2] [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad P (k + 1) [/ math] es verdadero.

Suponga que [math] P (k) [/ math] es verdadero para algún número impar [math] k \ en N. [/ Math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 2 | (k ^ k + 5k + 2). [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad k ^ k [/ math] es impar [math] \ qquad \ Rightarrow \ qquad (k + 1) ^ {(k + 1)} [/ math] es par.

[math] \ Rightarrow \ qquad (k + 1) ^ {(k + 1)} + 5 (k + 1) + 2 [/ math] es par.

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad 2 | [(k + 1) ^ {(k + 1)} + 5 (k + 1) + 2] [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad P (k + 1) [/ math] es verdadero.

[math] \ Rightarrow \ qquad P (k + 1) [/ math] es verdadero siempre que [math] P (k) [/ math] sea verdadero.

Pero [matemática] P (1) [/ matemática] es verdadera [matemática] \ qquad \ Rightarrow \ qquad [/ matemática] [matemática] P [/ matemática] es verdadera [matemática] \, \, \ forall \, \, n \ en N. [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad P: 2 | (n ^ n + 5n + 2) \, \, \ forall \, \, n \ en N. [/ math]

Answer 4

¿Quién sabe? Lo que ha citado en su pregunta es >> no << una ecuación!