El radio de convergencia es una noción aplicable a secuencias y series, no a funciones como tales, pero como en una respuesta anterior, es habitual usarlo para series de Taylor.
Hay una dificultad técnica, si nos mantenemos en los números reales. Parece que estamos invitados a pensar en argumentos reales, pero [math] \ cosec (x) [/ math] no está definido para múltiplos de [math] \ pi [/ math]. De hecho, es cierto que (en cualquier otro lugar) [matemáticas] \ frac {1} {\ cosec (x)} = \ sin (x) [/ matemáticas], y uno puede reparar los “agujeros” en múltiplos de [matemáticas] \ pi [/ math] completando [math] 0 [/ math]. Una serie de Taylor, cuando tenga una, tendrá que estar de acuerdo con [math] \ sin (x) [/ math], y su radio de convergencia a algo es [math] \ infty [/ math], pero, por supuesto, algo es [matemática] \ sin (x) [/ matemática], no [matemática] \ frac {1} {\ cosec (x)} [/ matemática].
En múltiplos de [matemática] \ pi [/ matemática], [matemática] \ frac {1} {\ cosec (x)} [/ matemática] no está definida, y no tiene una serie de Taylor para ella (ni ninguna otro tipo de series).
Ahora, ¿qué sucede si usa los reales extendidos [matemática] \ R * [/ matemática], con dos puntos de compactación, [matemática] \ pm \ infty [/ matemática]? Esto es más fácil, pero aún un poco resbaladizo, porque [matemática] \ frac {1} {sin (n \ pi)} [/ matemática] no se determina entre los dos “puntos en el infinito”. Podemos pasar por alto esto al tomar el recíproco, porque podemos tratar [matemáticas] \ frac {1} {- \ infty} = 0 = \ frac {1} {\ infty} [/ matemáticas], pero esto no es realmente mejor que la reparación en los números reales.
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Puede hacerlo funcionar, de una manera, en una compactación de un punto, pero esto es bastante horrible. Solo este ejemplo específico no se tropieza con nada en lo que pueda pensar, pero es demasiado peculiar para usar de forma predeterminada como una forma de lidiar con esta expresión. Para casi todos los propósitos sanos, es mejor pensar en la serie de Taylor como indefinida cuando se desarrolla sobre múltiplos de [math] \ pi [/ math], y reconocer eso en todas partes, aunque termine con una serie que converge en todas partes para [ matemática] \ sin (x) [/ matemática], no converge y no puede converger a “la función original” más allá de los múltiplos circundantes más cercanos de [matemática] \ pi [/ matemática], porque “la función original” no No incluya estos valores de [math] x [/ math] en su dominio.
Es solo otra instancia de la regla familiar; una expresión no es “ya” una función; debe especificar un dominio y un codominio, y la expresión debe definirse en todas partes en el dominio, y su valor debe estar en el codominio. A veces puedes olvidarte de esto; a veces, como aquí, no puedes.