Una partícula se mueve en la curva y = 2sqrt (4x + 4). A medida que la partícula pasa a través del punto (3,8), su coordenada x aumenta a una velocidad de 2 unidades por segundo. ¿Cuál es la tasa de cambio de la distancia desde la partícula al origen en este instante?

Deje que [math] \ vec {\ mathbf {P}} = x \ hat {i} + y \ hat {j} [/ math] represente el vector de posición de la partícula. Como [math] y = 2 \ sqrt {4x + 4} = 4 \ sqrt {x + 1} [/ math], tenemos [math] \ vec {\ mathbf {P}} = x \ hat {i} + 4 \ sqrt {x + 1} \ hat {j} [/ math]

La distancia de la partícula desde el origen viene dada por [math] \ left | \ vec {\ mathbf {P}} \ right | [/ math] y se nos ha pedido que encontremos [math] \ left. \ dfrac {\ mathrm d \ left | \ vec {\ mathbf {P}} \ right |} {\ mathrm dt} \ right | _ {x = 3} [/ math]

Vemos que [matemática] \ left | \ vec {\ mathbf {P}} \ right | = \ sqrt {\ left (x \ right) ^ 2 + \ left (4 \ sqrt {x + 1} \ right) ^ 2} = \ sqrt {x ^ 2 + 16x + 16} [/ matemáticas]

[matemática] \ dfrac {\ mathrm d \ left | \ vec {\ mathbf {P}} \ right |} {\ mathrm dx} = \ dfrac {x + 8} {\ sqrt {x ^ 2 + 16 x + 16 }}[/matemáticas]

Por regla de la cadena,

[math] \ dfrac {\ mathrm d \ left | \ vec {\ mathbf {P}} \ right |} {\ mathrm dt} = \ dfrac {\ mathrm d \ left | \ vec {\ mathbf {P}} \ right |} {\ mathrm dx} \ times \ dfrac {\ mathrm dx} {\ mathrm dt} = \ dfrac {x + 8} {\ sqrt {x ^ 2 + 16 x + 16}} \ times \ dfrac {\ mathrm dx} {\ mathrm dt} [/ math]

Se nos ha dado que [matemáticas] \ izquierda. \ dfrac {\ mathrm dx} {\ mathrm dt} \ right | _ {x = 3} = 2 [/ math]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ izquierda. \ dfrac {\ mathrm d \ left | \ vec {\ mathbf {P}} \ right |} {\ mathrm dt} \ right | _ {x = 3} = \ dfrac {3 + 8} {\ sqrt {3 ^ 2 + 16 \ cdot 3 + 16}} \ times 2 = \ dfrac {22} {\ sqrt {73}} [/ math]