Si [math] f (x) = x + sin (x) [/ math] entonces, ¿cómo puedo encontrar [math] \ frac {2} {\ pi ^ 2} \ int_ \ pi ^ {2 \ pi} (f ^ {- 1} (x) + sin (x)) dx [/ math]?

Answer 1

Su primer trabajo sería encontrar el inverso de la función anterior, pero desafortunadamente no es tan fácil de descubrir, así que piense en el inverso como algo relacionado con el gráfico de una función,
La gráfica de [matemática] f ^ {- 1} (x) [/ matemática] es la misma que la reflexión de la gráfica de [matemática] f (x) [/ matemática] con respecto a la línea [matemática] y = x [/ math], La gráfica de la función [math] y = x + sin (x) [/ math] es la misma que la gráfica de [math] sin (x) [/ math] en la línea [math] y = x, [/ math] que implica que la gráfica de la función [math] f ^ {- 1} (x) [/ math] sería el reflejo de lo anterior, y dentro de los límites dados, la gráfica de [math ] f ^ {- 1} (x) [/ math] estaría por encima de la línea [math] y = x [/ math] como,

[matemáticas] f (x) = x + sen (x) \ leq x [/ matemáticas] [matemáticas] \ forall [/ matemáticas] [matemáticas] \ pi \ leq x \ leq 2 \ pi [/ matemáticas]

entonces, siguiendo las gráficas de las funciones requeridas, podemos concluir que la integral anterior se simplifica como [math] \ frac {2} {\ pi ^ 2} \ int _ {\ pi} ^ {2 \ pi} x dx [/matemáticas]

que resulta ser [matemáticas] 3 [/ matemáticas].