¿Cuál es el área del paralelogramo con vértices en (-2, -1), (-10, -11), (-7, 7) y (-15, -3)?

Answer 1

Marcó los puntos a continuación:

Conectado los puntos y el paralelogramo se obtiene de la siguiente manera:

Necesita decidir sobre cualquier lado y encontrar la distancia entre el lado seleccionado y el paralelo a él.

Seleccioné BC y ahora el objetivo es encontrar la distancia entre las líneas AD y BC.

Longitud BC = Sqrt [(- 10 + 2) ^ 2 + (-11 + 1) ^ 2] = Sqrt [64 + 100] = Sqrt (164)

La ecuación de la línea BC es:

(x + 10) / (-10 + 2) = (y + 11) / (- 11 + 1)

(x + 10) / 8 = (y + 11) / 10

10x + 100 = 8y + 88

10x – 8y + 12 = 0

Usando la identidad de la siguiente manera:

La distancia desde el punto (x1, y1) a la línea Ax + By + C = 0 es:

Abs (A * x1 + B * y1 + C) / Sqrt (A ^ 2 + B ^ 2)

Por lo tanto, la distancia DE entre (-15, -3) y 10x – 8y + 12 = 0

es Abs [(10 * -15) + (-8 * -3) + 12] / Sqrt (10 ^ 2 + 8 ^ 2)

= Abs (-150+ 24 + 12) / Sqrt (164) = 114 / Sqrt (164)

Área de paralelogramo = BC * DE = Sqrt (164) * [114 / Sqrt (164)] = 114

Answer 2

El área de un paralelogramo es la mitad de su triángulo formado por 3 puntos. El área del triángulo se puede calcular por método elemental.

Encierre el triángulo ABC en el rectángulo APQR donde las coordenadas son A (-10, -11), B (-2, -1), C (-7, 7), P (-10,7), Q (- 2,7), R (-2, -11).

Área APQR = 8 * 18 = 144, área APC = (3 * 18) / 2 = 27, área CQR = (5 * 8) / 2 = 20, área BRA = (10 * 8) / 2 = 40

Por lo tanto, el área ABC = 144 – 27 – 20 – 40 = 57

Por lo tanto, área del paralelogramo = 57 * 2 = 114

Answer 3

Simplemente tomando la producción cruzada entre dos vectores de borde produce un vector cuya longitud es el área del paralelogramo. En realidad, podemos tomar el equivalente 2D que es un escalar con área

[matemáticas] \ mathbf {u} = (-10, -11) – (-15, -3) = (5, -8) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mathbf {v} = (-7,7) – (-15, -3) = (8,10) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mathbf {u} \ veces \ mathbf {v} = 5 * 10 – -8 * 8 = 50 + 64 = 114 [/ matemáticas]

Answer 4

[math] \ mathbf {a} = (- 8, -10) [/ math], el vector de [math] (- 2, -1) [/ math] a [math] (- 10, -11) [ /matemáticas]

[math] \ mathbf {b} = (- 5,8) [/ math], el vector de [math] (- 2, -1) [/ math] a [math] (- 7,7) [/ math ]

Sea [math] P [/ math] el área del paralelogramo, que está relacionada con el producto cruzado:

[matemática] P = || \ mathbf {a \ times b} || = || \ mathbf {a} || \ || \ mathbf {b} || \ sin \ theta [/ math], donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre [math] \ mathbf {a} [/ math] y [math] \ mathbf {b} [/ math]

Y combinando con la definición del producto punto:

[matemáticas] || \ mathbf {a \ cdot b} || = || \ mathbf {a} || \ || \ mathbf {b} || \ cos \ theta = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} [/ matemáticas]

Un poco de álgebra y trigonometría representa la fórmula especial:

[matemáticas] P = \ sqrt {(a_ {1} ^ 2 + a_ {2} ^ 2) (b_ {1} ^ 2 + b_ {2} ^ 2) – (a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2}) ^ 2} [/ matemáticas]

Lo que simplifica a lo aún más especial:

[matemáticas] P = | a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} | [/ matemáticas]

¿¡Guau!? Está bien para alguien que olvidó la fórmula por la magnitud del producto cruzado, es una revelación. Claramente, la fórmula del producto de puntos es igual de sorprendente y esto se dijo anteriormente sin comentarios. Se puede derivar con bastante facilidad de la ley de los cosenos.

[matemáticas] => P = | (-8) (8) – (- 10) (- 5) | = 114 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que no importa si ha elegido una diagonal y uno o dos lados del paralelogramo para los vectores iniciales. Puede ver esto geométricamente, ya que los triángulos extendidos por cualquiera de los dos brazos tienen un área que es la mitad del paralelogramo.

Answer 5

Usa el método del cordón.

paralelogramo del método de cordones – Búsqueda de Google

Answer 6

Una cualquiera de las dos diagonales y encuentre el área de cualquiera de los dos triángulos así formados y multiplíquelo por 2.