Dado que ayb son vectores con [math] | a + b | = 5 [/ math] y [math] | ab | = 1 [/ math], ¿qué es [math] a \ cdot b [/ math]?

Answer 1

EDITAR – ¡MI RESPUESTA ORIGINAL FUE COMPLETAMENTE MAL!

Esta es la respuesta correcta:

Hagamos esto en el caso de dos dimensiones donde [matemática] a = a_1i + a_2j [/ matemática] y [matemática] b = b_1i + b_2j [/ matemática] donde [matemática] i [/ matemática] y [matemática] j [/ matemáticas] son ​​vectores unitarios perpendiculares.

[matemáticas] 5 ^ 2 = | a + b | ^ 2 = (a_1 + b_1) ^ 2 + (a_2 + b_2) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 ^ 2 = | ab | ^ 2 = (a_1-b_1) ^ 2 + (a_2-b_2) ^ 2 [/ matemáticas]

Multiplica los cuadrados y resta la segunda ecuación de la primera:

[matemáticas] 24 = 4a_1b_1 + 4a_2b_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a_1b_1 + a_2b_2 = 6 [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] a \ cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 [/ matemáticas]. Por lo tanto [matemáticas] a \ cdot b = 6 [/ matemáticas].

EDITAR 2: Tenga en cuenta que este ejemplo bidimensional se extiende a cualquier cantidad de dimensiones.

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RESPUESTA INCORRECTA ABAJO:

Sea [math] a = 2i + 2j [/ math] y [math] b = i + 2j [/ math]. Entonces [matemática] | a + b | = 5 [/ matemática], [matemática] | ab | = 1 [/ matemática] y [matemática] a \ cdot b = 6 [/ matemática].

Deje que [matemáticas] a = \ frac {\ sqrt {10} +1} {2} i + \ frac {\ sqrt {15}} {2} j [/ matemáticas] y [matemáticas] b = \ frac {\ sqrt { 10} -1} {2} i + \ frac {\ sqrt {15}} {2} j [/ math]. Entonces [matemática] | a + b | = 5 [/ matemática], [matemática] | ab | = 1 [/ matemática] y [matemática] a \ cdot b = \ frac {\ sqrt {150}} {2} [ /matemáticas]. ¡INCORRECTO! En realidad, [matemáticas] a \ cdot b = 6 [/ matemáticas].

Llegué a la conclusión incorrecta de que no puede determinar el producto escalar a partir de esta información.

Answer 2

Dado que [matemática] (a + b) \ cdot (a + b) – (a – b) \ cdot (a – b) = 24 [/ matemática] entonces [matemática] 4a \ cdot b = 24 \ Rightarrow a \ cdot b = 6 [/ matemáticas].