Una respuesta está en el enlace que proporcionó: los vectores con respecto a los cuales se define la derivada pueden ni siquiera tener una noción de norma, por lo que restringir a los vectores unitarios puede no ser una opción. Esta definición funciona limpiamente en todos los contextos, sin suposiciones sobre los vectores tangentes.
Pero dejemos esto de lado: ni siquiera es la razón principal. La razón principal es simple: la derivada direccional como se define aquí se denota
[matemáticas] \ displaystyle \ nabla_v f (x) [/ matemáticas]
Lo que lo invita a pensar en él como un operador en la función [matemáticas] f [/ matemáticas], evaluada en [matemáticas] x [/ matemáticas], mientras que [matemáticas] v [/ matemáticas] es simplemente un atributo o un parámetro de El operador diferencial.
- Cómo resolver y encontrar una ecuación de función lineal
- ¿Cuáles son las aplicaciones de los vectores?
- Discuta los productos de punto, línea, vector y punto. ¿Por qué son importantes en el curso de los gráficos por computadora y cómo crees que nos ayudan prácticamente?
- ¿Cuál es la diferencia entre el sistema invariante de tiempo lineal y el sistema invariante de cambio lineal?
- ¿Qué es 2 × 2?
Pero también puedes pensar en ello como
[matemáticas] \ displaystyle df_x (v) [/ matemáticas]
lo que cambia su perspectiva y lo hace reflexionar: si trabajo con alguna función fija [matemáticas] f [/ matemáticas] en un punto particular [matemáticas] x [/ matemáticas], ¿cómo se comporta esto cuando varío el vector [matemáticas] v [/ matemáticas]?
Y la respuesta es muy satisfactoria: es una transformación lineal . Es la más simple de todas las funciones posibles de un vector en un espacio vectorial.
El espacio vectorial aquí es la colección de todos los vectores con respecto a los cuales puede tomar la derivada; Esto se denomina espacio tangente y, según el contexto, puede ser todo el espacio ambiental o solo una parte de él.
En cualquier caso, es un objeto natural y útil: el espacio tangente es un espacio vectorial completo, y la transformación lineal [matemática] df_x [/ matemática] es la aproximación lineal más cercana a [matemática] f [/ matemática] en [matemática] x [/ matemáticas]. Si restringe solo a los vectores unitarios, pierde la capacidad de agregarlos o multiplicarlos por un escalar, pierde la estructura del espacio vectorial en el espacio tangente y pierde la linealidad de [math] df_x [/ math]. No está bien.
Armado con el entendimiento de que [math] df_x [/ math] es una transformación lineal, puede estudiar su imagen, su núcleo, su determinante, sus valores propios y sus vectores propios. Todas de estas cosas tienen un significado geométrico concreto y útil. Le informan sobre singularidades en [math] f [/ math], sobre su comportamiento dimensional local, sobre sus ejes principales, etc.
Entonces, nuevamente, restringir a los vectores unitarios te haría perder toda esta maravillosa estructura. No quieres perderlo.
