¿Los valores propios del hamiltoniano son siempre positivos?

Answer 1

Los valores propios del hamiltoniano son siempre reales , pero no siempre son positivos. Puede agregar una constante real arbitraria al hamiltoniano sin cambiar la física. Por ejemplo, en lugar de [matemáticas] \ frac {p ^ 2} {2m} [/ matemáticas], podría definir el hamiltoniano para que la partícula libre sea [matemáticas] \ frac {p ^ 2} {2m} – 1 \ \ mathrm {eV} [/ math]. Ahora el hamiltoniano será negativo siempre que la energía cinética sea inferior a 1 eV …

Sin embargo, hay otra restricción sobre el Hamiltoniano, que es que su espectro debería estar limitado a continuación. Un hamiltoniano que no está limitado a continuación representa un sistema del cual se puede extraer una cantidad ilimitada de energía; tales hamiltonianos son, por lo tanto, no físicos. Debido a esto, dado un Hamiltoniano físicamente realista, siempre podemos cambiarlo para que todos sus valores propios no sean negativos, es decir, asignar la energía 0 al estado fundamental. A menudo, asumiremos que esto ya se ha hecho.

Answer 2

Usualmente no.

El hamiltoniano representa la energía total del sistema , y toma valores negativos cuando el sistema está acotado y cuando el potencial de interacción va a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] en el infinito.

El oscilador armónico (o el resorte) es bueno solo para aproximaciones que generalmente involucran sistemas acotados, y es un modelo. Nada en la naturaleza, como lo observamos, en realidad tiene un potencial de interacción que diverge linealmente con la distancia. Por lo tanto, puede tener valores hamiltonianos positivos incluso si el sistema está limitado.

Pero piense en un sistema planetario en mecánica clásica. O un dipolo colocado en un campo electromagnético en la mecánica clásica o cuántica. Los valores serán negativos cuando el sistema no sea difusivo.

Answer 3

Bueno, depende de lo que tomes para ser tu cero de energía, pero generalmente no. Por ejemplo, para el átomo de hidrógeno. normalmente consideramos que cero es la energía del protón y el electrón separados por una gran distancia (“energía potencial cero”), pero que no se mueven entre sí (“energía cinética cero”). Por lo tanto, todos los estados unidos tienen energía potencial negativa, con el estado fundamental que tiene el más bajo, y el teorema virial cuántico da a la energía cinética como -1/2 de la energía potencial (tan positiva, pero no lo suficiente como para cancelar todo lo negativo energía potencial, solo la mitad). Entonces todos los estados unidos tienen energías negativas. Un estado con energía total positiva representaría un electrón libre que viaja en algún lugar cerca del protón.

La energía cinética siempre es no negativa, pero eso no es lo que pediste.