Si un vector A y B son iguales, | A + B | = 2 | AB |, entonces, ¿cuál es el ángulo b / n A y B?

Answer 1

Como regla general, cuando intente resolver un problema relacionado con ángulos entre vectores, piense en productos de puntos . No siempre es el enfoque correcto, pero a menudo lo es.

En este caso, tenemos [matemáticas] | \ vec A + \ vec B | = 2 | \ vec A – \ vec B | [/ math], y dado que ambos lados de la ecuación no son negativos, podemos ajustarlos a ambos sin introducir soluciones espurias:

[matemáticas] | \ vec A + \ vec B | ^ 2 = 4 | \ vec A – \ vec B | ^ 2 [/ matemáticas].

Ahora, podemos aprovechar el hecho de que para un vector [math] \ vec v [/ math], [math] | \ vec v | ^ 2 = \ vec v \ cdot \ vec v [/ math]. Aplicando eso aquí,

[matemáticas] \ begin {align *}
\ left (\ vec A + \ vec B \ right) \ cdot \ left (\ vec A + \ vec B \ right) & = 4 \ left (\ vec A – \ vec B \ right) \ cdot \ left (\ vec A – \ vec B \ right) \\
A ^ 2 + B ^ 2 + 2 \ vec A \ cdot \ vec B & = 4 \ left (A ^ 2 + B ^ 2 – 2 \ vec A \ cdot \ vec B \ right) \\
10 \ vec A \ cdot \ vec B & = 3 (A ^ 2 + B ^ 2).
\ end {align *} [/ math]

La pregunta establece que los vectores son “iguales”; Supongo que significa sus magnitudes . Entonces, dado que [matemáticas] \ vec A \ cdot \ vec B = | \ vec A | | \ vec B | \ cos \ theta
[/ math], donde [math] \ theta [/ math] es el ángulo entre los vectores y [math] | \ vec A | = | \ vec B | [/ math], podemos simplificar nuestra ecuación para

[matemáticas] \ begin {align *}
10 A ^ 2 \ cos \ theta & = 6 A ^ 2 \\
\ cos \ theta & = 3/5 \\
\ theta & = \ cos ^ {- 1} (3/5) \\
& \ aproximadamente 53 ^ \ circ.
\ end {align *} [/ math]

Existen muchas variaciones en este tipo general de problema, y ​​todos pueden abordarse de la misma manera más o menos.

Answer 2

Supongo que te refieres a | a | = | b | en lugar de a = b.

De lo contrario, la pregunta no tiene sentido porque si a = b, entonces | a – b | = 0 y luego | a + b | = 0 que implica | 2a | = 0. Entonces a = b = 0 y el ángulo no está definido.

Si | a | = | b |, entonces a + b es ortogonal a a -b.
prueba: (a + b). (ab) = a² -b² = 0))

Entonces a + a y b + b son las 2 diagonales de un rectángulo cuyas longitudes laterales son | a + b | y | ab |.

El ángulo entre ayb es 2 arcosin (1 / sqrt (5)) o 2 arcos (1 / sqrt (5))

Dibujar un rectángulo hecho de 2 cuadrados hace que la prueba sea más fácil de visualizar.