Un vector Eigen es un vector cuya dirección permanece sin cambios cuando se le aplica una transformación lineal.
Considere la siguiente imagen en la que se muestran tres vectores. El cuadrado verde solo se dibuja para ilustrar la transformación lineal que se aplica a cada uno de estos tres vectores.
Los vectores propios (rojo) no cambian de dirección cuando se les aplica una transformación lineal (por ejemplo, escala). Otros vectores (amarillo) sí.
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La transformación en este caso es una escala simple con factor 2 en la dirección horizontal y factor 0.5 en la dirección vertical, de modo que la matriz de transformación A se define como:
Un vector v = (x, y) se escala aplicando esta transformación como
La figura anterior muestra que la dirección de algunos vectores (mostrados en rojo) no se ve afectada por esta transformación lineal. Estos vectores se denominan vectores propios de la transformación y definen de forma única la matriz cuadrada A. Esta relación determinista única es exactamente la razón por la que esos vectores se denominan ‘vectores propios’ (Eigen significa ‘específico’ en alemán).
En general, el vector propio v de una matriz A es el vector para el cual se cumple lo siguiente:
donde λ es un valor escalar llamado ‘ valor propio ‘. Esto significa que la transformación lineal A en el vector v está completamente definida por λ
Podemos reescribir la ecuación
donde I es la matriz de identidad de las mismas dimensiones que A
Sin embargo, suponiendo que v no es el vector nulo, ecuación; solo se puede definir si
no es invertible Si una matriz cuadrada no es invertible, eso significa que su Determinante debe ser igual a cero. Por lo tanto, para encontrar los vectores propios de A, simplemente tenemos que resolver la siguiente ecuación:
Para más consulta:
Valores propios y vectores propios – Wikipedia
Eigenvalue – de Wolfram MathWorld
Valores propios y vectores propios
Valores propios y vectores propios: una introducción
¿Cuál es la importancia de los valores propios / vectores propios?
http://math.mit.edu/~gs/linearal…