[matemáticas] \ large \ frac {\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {399} \ sqrt {20+ \ sqrt {k}}} {\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {399} \ sqrt { 20- \ sqrt {k}}} \ tag * {} [/ math] ¿Cuál es el valor de la expresión anterior? Exprese su respuesta en 3 decimales.

Answer 1

En un intento de evitar manipular las sumaciones ridículamente grandes, miré una pregunta más simple y encontré algo sorprendente. Considerar

[matemáticas] \ frac {{\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {15} {\ sqrt {4 + \ sqrt k}}}} {{\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {15} {\ sqrt {4 – \ sqrt k}}}}. [/ math]

Deje [math] x = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {15} {\ sqrt {4 + \ sqrt k}} [/ math] y

[matemáticas] y = \ suma \ límites_ {k = 1} ^ {15} {\ sqrt {4 – \ sqrt k}} [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas].

Entonces [matemática] x + y = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {15} {\ sqrt {4 + \ sqrt k}} + \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {15} {\ sqrt { 4 – \ sqrt k}} = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {15} {\ left ({\ sqrt {4 + \ sqrt k} + \ sqrt {4 – \ sqrt k}} \ right)} [/matemáticas].

Pero [matemáticas] {\ left ({\ sqrt {4 + \ sqrt k} + \ sqrt {4 – \ sqrt k}} \ right) ^ 2} = 8 + 2 \ sqrt {16 – k} [/ math] ,

entonces [matemáticas] \ sqrt {4 + \ sqrt k} + \ sqrt {4 – \ sqrt k} = \ sqrt {2 \ left ({4 + \ sqrt {16 – k}} \ right)} [/ math] .

Por lo tanto, [matemáticas] x + y = \ sqrt 2 \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {15} \ sqrt {\ left ({4 + \ sqrt {16 – k}} \ right)} [/ math]

Pero [matemáticas] \ suma \ límites_ {k = 1} ^ {15} \ sqrt {\ left ({4 + \ sqrt {16 – k}} \ right)} [/ matemáticas] es solo [matemáticas] x [/ matemáticas] escrito al revés.

Por lo tanto, [matemática] x + y = x \ sqrt 2 [/ matemática] de la cual [matemática] \ frac {x} {y} = 1 + \ sqrt 2 [/ matemática].

Examinando mi solución al problema más simple y notando que 4 fue completamente rastreable a través de la escritura, es fácil ver que la respuesta nunca cambiará. Es decir

[matemática] \ frac {{\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {{n ^ 2} – 1} {\ sqrt {n + \ sqrt k}}}} {{\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {{n ^ 2} – 1} {\ sqrt {n – \ sqrt k}}}} [/ math] es siempre [math] 1 + \ sqrt 2 [/ math].

Para los escépticos.

Deje que [math] x = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {{n ^ 2} – 1} {\ sqrt {n + \ sqrt k}} [/ math] y [math] y = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {{n ^ 2} – 1} {\ sqrt {n – \ sqrt k}} [/ math].

[matemática] x + y = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {{n ^ 2} – 1} {\ sqrt {n + \ sqrt k}} + \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {{ n ^ 2} – 1} {\ sqrt {n – \ sqrt k}} = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {{n ^ 2} – 1} {\ sqrt 2 \ left (\ sqrt {n – \ sqrt {{n ^ 2} – k}} \ right)} = \ sqrt 2 x [/ math]

y [matemáticas] \ frac {x} {y} = 1 + \ sqrt 2 [/ matemáticas].

Answer 2

Primero evaluemos una expresión más simple, a saber

[matemáticas] E_1 = \ frac {\ displaystyle {20+ \ sqrt {k}}} {\ displaystyle {20- \ sqrt {k}}}. [/ math]

Luego consideraremos la expresión un poco más compleja

[matemáticas] E_2 = \ frac {\ displaystyle \ sqrt {20+ \ sqrt {k}}} {\ displaystyle \ sqrt {20- \ sqrt {k}}}. [/ math]

Y finalmente mira la expresión aún más compleja

[matemáticas] E_3 = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ 299 \ sqrt {20+ \ sqrt {k}}} {\ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ 299 \ sqrt {20- \ sqrt {k}}}. [/ matemáticas]

Para cualquier expresión como [math] E_1 [/ math] cuyo denominador es una suma (o diferencia) de números racionales (como [math] 2, 7, 1/2, 3/7,… [/ math]) y surds (raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc., como [math] \ sqrt {5}, \ sqrt {23/17}, … [/ math]), primero debemos simplificarlo sacando las raíces del denominador . Podemos hacer esto mediante un proceso llamado racionalizar la expresión. Siempre que nuestras encuestas sean solo raíces cuadradas, esto simplemente implica:

• multiplicando la expresión por el denominador con su signo más cambiado a un signo menos, llamado conjugado del denominador; y
• dividiendo el resultado por el mismo conjugado.

El efecto neto será multiplicar la expresión original por 1, dejando su valor sin cambios. Pero si no cambia el valor, ¿por qué molestarse?

Porque el nuevo denominador ahora será el producto del denominador original y su conjugado, que siempre se simplifica a una expresión sin raíces cuadradas. Que es exactamente lo que queremos lograr.

¿Cómo sabemos que esto siempre se simplifica? Seguramente has visto la siguiente ecuación:

[matemáticas] (a + b) (ab) = (a ^ 2-b ^ 2). [/ matemáticas]

En nuestro caso, nuestro denominador será:

algo menos otra cosa (que implica una descarga)

así que si llamamos a nuestro primero algo [matemáticas] a [/ matemáticas] y nuestro algo más [matemáticas] b [/ matemáticas], nuestro denominador está representado por el factor [matemáticas] (ab) [/ matemáticas] arriba. Entonces el conjugado de [math] (ab) [/ math] es [math] (a + b) [/ math], y si los multiplicamos juntos, obtendremos [math] (a ^ 2-b ^ 2 )[/matemáticas]. Observe que este resultado no tiene términos simples [matemática] b [/ matemática], solo uno en [matemática] b ^ 2 [/ matemática]. Y si nuestra [matemática] b [/ matemática] tiene la forma [matemática] c \ sqrt {d} [/ matemática], donde [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] son ​​dos razones simples , cuando lo elevamos al cuadrado obtenemos [matemáticas] b ^ 2 = c ^ 2d [/ matemáticas], que ya no tiene ningún signo de raíz cuadrada. Así que ahora sabes por qué vamos a hacer estas multiplicaciones, ¡hagámoslas!

[matemáticas] E_1 = \ frac {\ displaystyle {20+ \ sqrt {k}}} {\ displaystyle {20- \ sqrt {k}}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ displaystyle {(20+ \ sqrt {k}) ^ 2}} {\ displaystyle {(20- \ sqrt {k}) (20+ \ sqrt {k})}} [/ math ]

[matemáticas] = \ frac {\ displaystyle {(400 + 40 \ sqrt {k} + k)}} {\ displaystyle {(400-k)}}. [/ math]

¿Ves cómo esta última expresión involucra solo el entero 400 y la simple [math] k [/ math] en su denominador? Eso es todo lo que necesitamos para llegar con nuestra primera expresión.

Entonces, en la segunda expresión, [math] E_2 [/ math]. Esto es

[matemáticas] E_2 = \ frac {\ displaystyle \ sqrt {20+ \ sqrt {k}}} {\ displaystyle \ sqrt {20- \ sqrt {k}}} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {\ displaystyle \ sqrt {(20+ \ sqrt {k}) ^ 2}} {\ displaystyle \ sqrt {(20- \ sqrt {k}) (20+ \ sqrt {k})} }[/matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ displaystyle (20+ \ sqrt {k})} {\ displaystyle \ sqrt {(400-k)}}. [/ math]

Aquí, nuevamente multiplicamos tanto la parte superior (“numerador”) como la inferior (“denominador”) por el conjugado del denominador original. (Solo en este caso, esa era una raíz cuadrada de otra expresión, por lo que su conjugado también es una raíz cuadrada).

Y finalmente, para nuestra tercera expresión, [math] E_3 [/ math], que se ve mucho más compleja, siendo la suma de 399 expresiones como nuestro último numerador, ¡dividida por la suma de otras 399 expresiones como nuestro último denominador! …

… (¡más por venir cuando compruebo que mi MathML funciona!)

Answer 3

de matemáticas import sqrt
p, q = 0.0,0.0
para k en rango (1.400):
r = sqrt (k)
p + = sqrt (20 + r)
q + = sqrt (20-r)
imprimir ‘% .3f’% (p / q)

El resultado es [matemáticas] 2.414 [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] \ frac {\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {399} \ sqrt {20+ \ sqrt {k}}} {\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {399} \ sqrt {20- \ sqrt {k}}} \ approxeq 2.41421 [/ matemáticas]

Lo siento, no conozco una forma inteligente de calcular esto.

Answer 5

Multiplica num y denom por [math] sqrt (20 + sqrt (k)) [/ math]

Esto se simplifica a [matemáticas] 20 + sqrt (k) [/ matemáticas] para num y [matemáticas] 20 ^ 2 – k [/ matemáticas] para denom

A partir de esto, debe poder completar los pasos para la suma

Answer 6