Por cada enésimo término de Fibonacci después de n = 2 (en términos generales), la función f (n) = log (Fibonacci en n) tiene una pendiente constante, lo que es sorprendente para una función logarítmica de todas las cosas. ¿Cuáles son tus pensamientos?

Otros ya han mencionado que la secuencia de Fibonacci crece exponencialmente y que, por lo tanto, el registro es aproximadamente lineal. Pero, dado que no es del todo obvio (para mí, de todos modos) que la secuencia de Fibonacci debería tener la bonita forma cerrada que tiene, pensé que ofrecería una forma alternativa de llegar a la expectativa de que el registro debería verse lineal.

Considere cómo se define la secuencia de Fibonacci: cada término, después de la primera pareja, es la suma de los dos términos anteriores. Dado que la secuencia está aumentando (después de los dos primeros elementos), eso significa que cada elemento (después del tercero) es más del doble del elemento dos anterior. Eso muestra inmediatamente que [math] F_n [/ math] es al menos exponencial, ya que está creciendo más rápido que [math] 2 ^ {n / 2} = \ left (\ sqrt {2} \ right) ^ n [/ math] . Por otro lado, cada elemento también es menos del doble del elemento anterior y, por lo tanto, crece más lentamente que [math] 2 ^ n [/ math].

Como el crecimiento de [math] F_n [/ math] está limitado arriba y abajo por exponenciales, su logaritmo está limitado arriba y abajo por líneas, para siempre . Si bien hay otras posibilidades que podría construir, la mejor opción en este momento (especialmente para algo con una estructura tan simple) es que [math] \ log (F_n) [/ math] eventualmente se vuelve casi lineal también (y una inspección más cercana revela que, de hecho, lo hace).

¡No es para nada sorprendente! F_n es la suma de dos funciones exponenciales, una de crecimiento y una de decadencia:

Para n lo suficientemente grande, la parte de descomposición se vuelve tan pequeña que básicamente se puede ignorar:

[matemáticas] F_n \ approx \ frac1 {\ sqrt {5}} \ left (\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ right) ^ n [/ math]

Si toma un registro de esto, obtiene una función lineal:

[matemáticas] f (n) = \ log (F_n) \ aprox mx + c [/ matemáticas]

donde [math] m = \ log (\ frac {1+ \ sqrt {5}} {2}) [/ math] y [math] c = \ log (\ frac1 {\ sqrt {5}}) [/ math ]

¡Compruébalo tú mismo! Encontrarás que esta es exactamente la pendiente que estás viendo.

Y, en general, si toma un registro y se encuentra mirando una línea, ¡sabrá que originalmente tenía una función exponencial!

La secuencia de Fibonacci tiene una forma cerrada exponencial. Tiene sentido que su logaritmo sea lineal.

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