¿Es posible resolver [matemáticas] f ‘(x) = f (x ^ 2)? [/ Matemáticas]

Aparentemente, la ecuación diferencial (DE), es decir, [matemática] f ^ {\ prime} (x) = f (x ^ 2) [/ matemática] aparece como un orden EDO [matemática] 1 ^ {st} [/ matemática] . Pero si miramos de cerca, nos damos cuenta de que es una ecuación diferencial funcional (FDE).

Supongamos que [math] x \ in (0, \ infty) [/ math]. Para [math] x \ in (0,1) [/ math], el DE se comporta como una ecuación diferencial de retardo retardado (RDDE) con retraso dependiendo de la variable independiente [math] x [/ math]. Esto se debe a que [matemática] f ^ {\ prime} (x) [/ matemática] no depende de [matemática] f [/ matemática] en [matemática] x [/ matemática] sino en [matemática] x ^ 2 [/ matemáticas]. Para [matemáticas] x \ in (0,1), x> x ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces, la derivada de [matemáticas] f [/ matemáticas] en [matemáticas] x [/ matemáticas] depende de un valor previo de [matemáticas] x [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]. Por el contrario, para [math] x \ in (1, \ infty) [/ math], se comporta como ecuación diferencial de retardo (DDE) con derivada de [math] f [/ math] en [math] x [/ math ] dependiendo del valor futuro (avance) de [matemática] x [/ matemática], como para [matemática] x \ in (1, \ infty), \ hspace {2mm} x <x ^ 2 [/ matemática].

Si consideramos este problema como un problema de valor inicial, entonces este problema es muy difícil de resolver para [math] x \ in (1, \ infty) [/ math] incluso numéricamente; En cuanto a la marcha hacia adelante, requerimos valores de función [matemática] (f) [/ matemática] en los valores futuros respectivos de [matemática] x [/ matemática], es decir, en [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y la solución obtenida pasar a través de la solución supuesta utilizada anteriormente para la marcha hacia adelante.

Para [math] x \ in (0,1) [/ math] este problema es fácil (relativamente) de resolver numéricamente. En este dominio, el DE se puede escribir de la siguiente manera:

[matemáticas] f ^ {\ prime} (x) = f (x- \ tau) \ hspace {2mm} \ text {where} \ hspace {2mm} \ tau = x (1-x). [/ math]

Esta ecuación tiene infinitas soluciones (no de la misma familia) que [math] \ tau = x (1-x)> 0 \ hspace {2mm} \ text {for} \ hspace {2mm} x \ in (0,1) . [/ math] Una de esas soluciones entre infinitas es la que ofrece (la respuesta de Alon Amit a ¿Es posible resolver [math] f ‘(x) = f (x ^ 2)? [/ math]). La configuración del valor límite para este problema para [matemática] x \ in (0,1) [/ matemática] es similar a la configuración del valor inicial.

Para [math] x \ in (1, \ infty) [/ math] la configuración del valor límite será similar a la configuración del valor inicial para [math] x \ in (0,1) [/ math] si tomamos un dominio finito como [math] x \ in (a, b) [/ math] donde [math] a> b ^ 2 [/ math] y [math] 1 <a <b [/ math]. Pero si [math] a <b ^ 2, [/ math] se vuelve similar a la configuración del valor inicial para [math] x \ in (1, \ infty). [/ Math]

El siguiente podría ser un enfoque que vale la pena mirar. Dejar

[matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} \ mbox {where} a_ {n} \ in \ R \ forall n \ tag {1} [/matemáticas]

Diferenciar (1) con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} na_ {n} x ^ {n-1} \ tag {2} [/ matemáticas]

Ahora use (1) y (2) en la ecuación dada para obtener

[matemáticas] \ begin {align *} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} na_ {n} x ^ {n-1} & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (x ^ {2}) ^ {n} \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {2n} \ tag {3} \ end {align *} [/ math ]

Una observación inmediata de (3) es que el RHS solo contiene poderes pares. Como (3) debe ser válido para todas [matemáticas] x [/ matemáticas], la consecuencia es

[matemáticas] a_ {2} = a_ {4} = a_ {6} = a_ {8} = \ dots = 0 \ tag {4} [/ matemáticas]

Los términos constantes en cada lado de (3) producen

[matemáticas] a_ {1} = a_ {0} \ tag {5} [/ matemáticas]

Ahora, si equiparamos las potencias de [math] x [/ math] en ambos lados, encontramos que algunos de los [math] a_ {n} [/ math] con subíndice impar dependen de [math] a_ {n} [/ math] con subíndice incluso , y también son cero debido a (4). Por ejemplo

[matemáticas] 5a_ {5} = a_ {2}, \ mbox {} 9a_ {9} = a_ {4}, \ mbox {} 11a_ {11} = a_ {5} = a_ {2} / 5, \ puntos \ tag {6} [/ matemáticas]

Ahora, lo que es más interesante, surgen varios coeficientes distintos de cero

[matemáticas] a_ {1} = a_ {0}, \ mbox {} 3a_ {3} = a_ {1}, \ mbox {} 15a_ {15} = a_ {7}, \ dots \ tag {7} [/ matemáticas]

El uso de (4), (5), (6) y (7) en (1) da

[matemáticas] f (x) = a_ {0} \ left (1 + x + \ frac {x ^ {3}} {1 \ times 3} + \ frac {x ^ {7}} {1 \ times 3 \ times 7} + \ frac {x ^ {15}} {1 \ times 3 \ times 7 \ times 15} + \ dots \ right) \ tag {8} [/ math]

Una mirada más cercana a los coeficientes en (8) nos permite escribir

[matemáticas] f (x) = a_ {0} \ left (1+ \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2 ^ {n} -1}} {\ prod_ {p = 1} ^ {n} (2 ^ {p} -1)} \ right) \ tag {9} [/ math]

Los números dados por [math] \ prod_ {p = 1} ^ {n} (2 ^ {p} -1 [/ math]) se llaman factores 2 y tienen aplicaciones en áreas de probabilidad.

La función [matemáticas] f (x) \ equiv 0 [/ matemáticas] es obviamente una solución trivial.

Más allá de eso, es razonable seguir el enfoque de Jay [1] y asumir que [math] f [/ math] puede representarse como una serie de potencia convergente en algún vecindario de [math] 0 [/ math]. Eso no es necesariamente cierto: es posible que haya una solución diferenciable que no sea analítica en ningún entorno de [matemáticas] 0 [/ matemáticas], pero esto parece poco probable y no exploraré esto más a fondo.

Si de hecho

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n x ^ n [/ matemáticas]

se mantiene para [matemática] | x |

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (n + 1) a_ {n + 1} x ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f (x ^ 2) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k x ^ {2k} [/ matemáticas]

Encontramos eso

[matemáticas] a_ {2k} = 0 [/ matemáticas] para [matemáticas] k> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_ {2k + 1} = \ frac {1} {2k + 1} a_k [/ matemáticas] para [matemáticas] k \ geq 0 [/ matemáticas]

Podemos elegir [math] a_0 [/ math] arbitrariamente ya que multiplicar [math] f (x) [/ math] por una constante mantiene intacta la ecuación funcional. Entonces tomemos [math] a_0 = 1 [/ math] por simplicidad. Encontramos

[matemáticas] a_1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_3 = \ frac {1} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] a_7 = \ frac {1} {21} [/ matemáticas]

y en general [matemáticas] a_ {2 ^ m-1} = \ frac {1} {b_m} [/ matemáticas] donde

[matemática] b_m = \ prod_ {i = 1} ^ m (2 ^ i-1) = 1 \ times 3 \ times 7 \ times \ cdots \ times (2 ^ m-1) [/ math]

Entonces, una solución en forma de una serie de potencia convergente se ve así:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 1 + x + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 7} {3 \ times 7} + \ frac {x ^ {15}} {3 \ veces 7 \ veces 15} + \ ldots + \ frac {x ^ {2 ^ m-1}} {b_m} + \ ldots [/ math]

Esta serie de potencia converge cuando [math] | x | <1 [/ math]. Se ve algo como esto:

Es poco probable que esta función tenga alguna expresión útil en términos de funciones elementales. Ahora sabemos que existe una función tan suave en el rango [matemática] [- 1,1] [/ matemática], y es única hasta una constante multiplicativa, pero probablemente tengamos que dejarla así.

Notas al pie

[1] La respuesta de Jay Wacker a ¿Es posible resolver [matemáticas] f ‘(x) = f (x ^ 2)? [/ Matemáticas]

Como Alon Amit menciona, también pueden ocurrir soluciones no analíticas. Pensé que complementaría su respuesta con algunas observaciones sobre esa posibilidad.

Además de los métodos de series de potencia mencionados anteriormente, vale la pena señalar que el RHS no depende de negativo [matemáticas] x [/ matemáticas].

Por lo tanto, si permitimos soluciones por partes, entonces podríamos tomar una solución constante por partes, ¡siempre que sea cero para positivo [matemático] x [/ matemático]! Después de todo, en los aspectos negativos, aparte de los puntos de discontinuidad, no va a encontrar ninguna dificultad, ya que la derivada es cero y también lo es la función para positivo [matemáticas] x [/ matemáticas]. [Otra alternativa más interesante: la función de Cantor para negativo [matemáticas] x [/ matemáticas], que tiene infinitos puntos de discontinuidad, ¡pero es al menos una solución continua!]

Por supuesto, eso no es [matemáticas] C ^ 1 [/ matemáticas], por lo que tal vez sea inaceptable, pero vale la pena señalar si está dispuesto a restringir el dominio a, por ejemplo, [matemáticas] (- \ infty, 0) \ cup (0, \ infty) [/ math], o menos.

Lo primero que pensé fue en una ley de poder … esto sugirió:

[matemática] f (x) = \ frac {1} {x} [/ matemática] para la cual [matemática] f ‘(x) = – \ frac {1} {x ^ 2} = -f (x ^ 2) [/matemáticas]

Tan cerca pero tan lejos !

Los exponenciales están fuera de la imagen …

No estoy seguro de que sea fácil porque es una ecuación que es al mismo tiempo funcional y diferencial . Tal vez hay un truco matemático que lo hace fácil, pero no es que se me ocurra fácilmente.


Como físico, me quedé sin opciones rápidamente …

Aunque observe que [math] \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ \ frac {d ^ nf} {dx ^ n} (0) = f (0) [/ math]

Y también tiene este “todas las derivadas son iguales al valor de la función” en el punto [math] 1 [/ math].

Pero sí. ¿Qué nos da eso? Esto es un desastre…

Oh ! La derivada es claramente par, por lo que la función debe ser impar (dentro de una constante aditiva …).


Tal vez un método sería asumir que existe, y considerar una expansión de la serie de potencia e intentar calcular los coeficientes. Ahh … recuerdos de pregrado!

Supongo que hay soluciones no triviales, pero … sí, puede que no tengan una forma muy amigable. (Tendrá que seguir con una serie de potencia cuyo radio de convergencia puede no ser infinito).

[matemáticas] \ displaystyle f ‘(x) = f (x ^ 2) [/ matemáticas]

integrando ambos lados para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ int f ‘(x) dx = \ int f (x ^ 2) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f (x) + c_0 = \ int f (x ^ 2) dx [/ matemáticas]

y ahora, ingresando [math] \ displaystyle \ int f (x ^ 2) dx [/ math] en WolframAlpha para obtener

[matemáticas] \ displaystyle f (x) + c_0 = f (0) x + \ frac {1} {3} x ^ 3 f ‘(0) + \ frac {1} {10} x ^ 5 f’ ‘( 0) + \ frac {1} {42} x ^ 7 f ” ‘(0) + O (x ^ 9) + c_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = f (0) x + \ frac {1} {3} x ^ 3 f ‘(0) + \ frac {1} {10} x ^ 5 f’ ‘(0) + \ frac {1} {42} x ^ 7 f ” ‘(0) + O (x ^ 9) + c_1 – c_0 [/ matemática]

donde [math] c_0 [/ math] y [math] c_1 [/ math] son ​​constantes arbitrarias.

Más allá de este punto, solo se volverá más complicado.

No tengo una respuesta inteligente y acabo de probar una serie de poder

[matemáticas] f (x) = \ sum a_n x ^ n [/ matemáticas]

Esto da:

[matemáticas] f ‘= \ sum a_n nx ^ {n-1} = a_1 x ^ 0 + 2 a_2 x ^ 1 + 3a_3 x ^ 2 \ cdots [/ math]

[matemáticas] f (x ^ 2) = \ sum a_n x ^ {2n} = a_0 x ^ 0 + 0 x ^ 1 + a_1 x ^ 2 + 0 x ^ 3 + a_2 x ^ 4 + \ cdots [/ math]

Al equiparar estas dos series, las series originales tienen términos distintos de cero para [matemáticas] a_n [/ matemáticas] para [matemáticas] n = 2 ^ {m} -1 [/ matemáticas] para [matemáticas] m \ ge 0 [ /matemáticas]

Los términos se determinan en términos de

[matemáticas] a_ {2 ^ m-1} = a_0 / N_m [/ matemáticas]

El coeficiente es

[matemáticas] N_m = \ prod_ {k = 1} ^ m (2 ^ k -1) [/ matemáticas]

f (x) = 1 + x + x³ / 3 + x ^ 7/21 + x ^ 15/315 + x ^ 31/9765 +… = Σx ^ (2 ^ n-1) / (1 · 3 · 7 · … · (2 ​​^ n-1))
La serie converge para todas las x entre -1 y 1.

[respuesta parcial]

Creo que es mejor formular la pregunta de la siguiente manera.

si [matemática] y = f (x) [/ matemática], entonces está buscando soluciones de

[matemáticas] (d / dx) y = f (x ^ 2) [/ matemáticas].

Esta es una ecuación funcional y puede no ser muy fácil de resolver. Por otro lado, observe que si

[matemática] y = f (x) = 1 / x [/ matemática], luego [matemática] y ‘= -1 / x ^ 2 = – f (x ^ 2) [/ matemática],

una falta cercana.

También tenga en cuenta que puede encontrar un subconjunto de todas las funciones f, pero que requieren algo como

[matemáticas] f (x) = f (x ^ 2) [/ matemáticas] eq. [matemáticas] f (x) = const. [/ math] eq. [matemática] f ‘(x) = 0 = constante [/ matemática], por lo tanto, [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] en todas partes.

Esta es una solución, pero puede haber otras.

Esto es todo lo que puedo decir por ahora.

La insistencia de Quora en las restricciones de los formularios de preguntas significa “quién sabe por qué” publica una pregunta, pero vaya a Computational Knowledge Engine para ver si pueden responderla sin que tenga que comprar nada.

Si bien esto no es una ODE, la prueba estándar del teorema de existencia de Picard parecería pasar con solo modificaciones menores.

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