Tus pasos iniciales son correctos. Daré aquí la solución completa.
La ecuación es [matemática] \ frac {dx} {dt} = x (1-x) [/ matemática]. Integra ambos lados
[matemáticas] t-t_0 = \ int \ frac {dx} {x (1-x)} [/ matemáticas]
Ahora tenga en cuenta que
[matemáticas] \ frac {1} {x (1-x)} = \ frac {1} {x} + \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]
Tal que la integral es
[matemáticas] t-t_0 = \ int dx \ left (\ frac {1} {x} + \ frac {1} {1-x} \ right) = \ ln (x) – \ ln (1-x) = \ ln \ left (\ frac {x} {1-x} \ right) [/ math] (*)
Exponiendo ambos lados
[matemáticas] e ^ {t-t_0} = \ frac {x} {1-x} [/ matemáticas]
Multiplicar por [matemáticas] 1-x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = (1-x) e ^ {t-t_0} [/ matemáticas]
Resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac {e ^ {t-t_0}} {1 + e ^ {t-t_0}} = \ frac {1} {1 + e ^ {- (t-t_0)}} [/ matemáticas ] (**)
Para encontrar [math] t_0 [/ math] configuramos [math] t = 0 [/ math] en (*)
[matemática] t_0 = \ ln \ izquierda (\ frac {1-x_0} {x_0} \ derecha) [/ matemática]
Usando esta expresión en (**) obtenemos
[matemáticas] x = \ frac {1} {1 + e ^ {- t} \ frac {1-x_0} {x_0}} [/ matemáticas]
En su caso, solo configure [math] x_0 = 0.1 [/ math]