Cómo resolver para $ x (t) $, $ \ frac {d} {dx} = x (1-x), x (0) = 0.1 $

Tus pasos iniciales son correctos. Daré aquí la solución completa.

La ecuación es [matemática] \ frac {dx} {dt} = x (1-x) [/ matemática]. Integra ambos lados

[matemáticas] t-t_0 = \ int \ frac {dx} {x (1-x)} [/ matemáticas]

Ahora tenga en cuenta que

[matemáticas] \ frac {1} {x (1-x)} = \ frac {1} {x} + \ frac {1} {1-x} [/ matemáticas]

Tal que la integral es

[matemáticas] t-t_0 = \ int dx \ left (\ frac {1} {x} + \ frac {1} {1-x} \ right) = \ ln (x) – \ ln (1-x) = \ ln \ left (\ frac {x} {1-x} \ right) [/ math] (*)

Exponiendo ambos lados

[matemáticas] e ^ {t-t_0} = \ frac {x} {1-x} [/ matemáticas]

Multiplicar por [matemáticas] 1-x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = (1-x) e ^ {t-t_0} [/ matemáticas]

Resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {e ^ {t-t_0}} {1 + e ^ {t-t_0}} = \ frac {1} {1 + e ^ {- (t-t_0)}} [/ matemáticas ] (**)

Para encontrar [math] t_0 [/ math] configuramos [math] t = 0 [/ math] en (*)

[matemática] t_0 = \ ln \ izquierda (\ frac {1-x_0} {x_0} \ derecha) [/ matemática]

Usando esta expresión en (**) obtenemos

[matemáticas] x = \ frac {1} {1 + e ^ {- t} \ frac {1-x_0} {x_0}} [/ matemáticas]

En su caso, solo configure [math] x_0 = 0.1 [/ math]

Qué he hecho

dividir ambos lados con el RHS que nos daría

[matemáticas] \ frac {\ frac {d} {dx}} {x (x-1)} = dt [/ matemáticas]

luego proceda con

[matemáticas] \ frac {1} {x (1-x)} = \ frac {A} {x} + \ frac {B} {1-x} [/ matemáticas]

Después de eso estoy bastante atascado, ¿lo integro después de eso y luego qué?

Si alguien pudiera mostrarme cómo lo hicieron, o cualquier sugerencia sería muy apreciada.

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