¿Qué es una base en álgebra lineal?

Una base de un espacio vectorial es cualquier subconjunto linealmente independiente que abarque todo el espacio vectorial. En otras palabras, cada vector en el espacio vectorial puede escribirse exactamente de una manera como una combinación lineal de los vectores base.

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquiera de sus bases. (“Bases” es el plural de “base”). Antes de que pueda hacer esta definición, debe probar que dos bases tienen el mismo número de vectores.

Ejemplo . El plano de coordenadas xy tiene dimensión 2. La base estándar consiste en los dos vectores [matemática] (1,0) [/ matemática] y [matemática] (0,1) [/ matemática]. Sin embargo, esa no es la única base. Cualquier dos vectores independientes también formarán una base, por ejemplo, [matemática] (3,8) [/ matemática] y [matemática] (- 4,0) [/ matemática] formarán una base de este plano.

Dos teoremas . Cualquier n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial n dimensional forma una base. Cualquier n vector que abarque un espacio vectorial n- dimensional forma una base.

Piensa en el espacio tridimensional ordinario en el que vivimos. Ahora imagine tres vectores en este espacio, de cualquier longitud que desee, apuntando en diferentes direcciones, y no todos en el mismo plano . Entonces, este conjunto de vectores es una base para ese espacio porque cualquier otro vector en el espacio puede expresarse como una combinación lineal de estos tres. Puede hacer una base para este espacio de infinitas maneras. En cada caso, los tres vectores se ‘estiran’ para llenar el espacio en lugar de simplemente llenar un solo lugar o una sola línea.

Un conjunto de vectores en algún espacio vectorial V se denomina base, si los vectores son linealmente independientes y cualquier otro vector en el espacio vectorial es linealmente dependiente de estos vectores. La academia Khan tiene un gran video que explicará mejor el concepto Base de un subespacio

Una respuesta más intuitiva: una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que no tienen nada en común (independencia) y que puede formar cualquier vector en el espacio mezclando adecuadamente los vectores de la base (combinación lineal). Del mismo modo, cualquier vector en el espacio puede dividirse en su “receta” de vector base.