Los operadores de proyección, como todos los operadores, se definen por lo que hacen . Por lo tanto, cuando escribe un operador en forma de matriz (en alguna base elegida), las entradas de la matriz son lo que sea necesario para que su acción sea correcta.
Esto puede parecer circular e inútil, pero espero que vea lo que quiero decir.
Comenzamos sin saber nada acerca de nuestra matriz, excepto que sus dimensiones son [matemática] 2 \ veces 2 [/ matemática] (ya que asigna desde y hacia vectores en [matemática] \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemática]) , por lo que todos sus elementos son incógnitas:
[matemáticas] A = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}. [/ math]
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Ahora, podemos probar cómo actúa esta matriz en los vectores base de la unidad, ya que son fáciles de manejar; por linealidad, cualquier valor de matriz que termine haciendo lo correcto con los vectores base debe hacer lo correcto con todos los vectores.
[matemáticas] \ begin {align *}
A \ hat e_1 & = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a \\ c \ end {pmatrix}, \\
A \ hat e_2 & = \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} b \\ d \ end {pmatrix}.
\ end {align *} [/ math]
Compare esto con el resultado de proyectar [matemática] \ hat e_1 [/ matemática] y [matemática] \ hat e_2 [/ matemática] en la línea deseada “a mano” (usando productos de puntos), y eso determinará las incógnitas [matemática ] a, \, b, \, c, [/ math] y [math] d [/ math].
Tenga en cuenta que el método anterior es útil para muchos tipos diferentes de problemas en los que necesita determinar la forma matricial de un operador. Sin embargo, hay muchos otros métodos que también son útiles y que también funcionarían en este problema. Por ejemplo, puede llamar al vector dado [math] \ vec v_1 [/ math], y luego construir un segundo vector [math] \ vec v_2 [/ math] perpendicular a él (ya sea resolviendo [math] \ vec v_1 \ cdot \ vec v_2 = 0 [/ math] después de elegir uno de los elementos de [math] \ vec v_2 [/ math] arbitrariamente o por cualquier otro método que desee). Estos son vectores propios del operador de proyección deseado, con valores propios de 0 y 1, respectivamente. Si ha aprendido sobre los sistemas propios, esta es suficiente información para escribir una fórmula para [math] A [/ math]. (Sugerencia: es posible que primero deba normalizar los vectores propios para que funcione como lo desee).
Sin embargo, la clave de todos estos métodos es fundamentalmente la misma: los operadores son lo que hacen .