Si AB es positivo definido, ¿B ^ -1-A ^ -1 también es positivo definido? ¿Por qué?

Answer 1

No. Considere un contraejemplo: sea A = 1 y B = -1. Entonces A – B = 1 – (-1) = 2, que es positivo. Pero B ^ {- 1} – A ^ {- 1} = -1 – 1 = -2, que no es muy positivo.

Probablemente tenga en mente matrices en lugar de escalares, pero este contraejemplo todavía funciona: piense en los escalares como casos especiales de matrices, específicamente la matriz de identidad multiplicada por ese escalar. (Por lo tanto, 1 es la matriz de identidad, -1 es la negación de la matriz de identidad, 2 es la matriz de identidad multiplicada por 2, etc.). Estas matrices son positivas definidas solo en caso de que el escalar sea positivo, y la aritmética en ellas coincida con la aritmética en estos escalares, y así el razonamiento anterior se realiza, proporcionando el contraejemplo deseado.

Pero esto me recuerda la pregunta, ¿por qué esperabas que esto fuera cierto? ¿Quizás implícitamente tenías más condiciones en mente? Por ejemplo, que A y B también deberían ser individualmente definidos, positivos y conmutados entre sí, y … Podríamos considerar cómo estas condiciones adicionales afectarían la situación, pero esperaré a que describa primero su proceso de pensamiento, antes de especular sobre lo que pudo haber sido.

Answer 2

Si A y B pueden ser dos matrices, entonces no.

Pero, si restringimos su reclamo a matrices definidas positivas simétricas, podemos probar que es cierto.

De manera más general, podemos definir un orden parcial en el conjunto de estas matrices. Nos permitirá comparar estas matrices.

Diríamos que [math] A \ geq B [/ math] si y solo si BA es simétrico positivo.

Answer 3

Primera respuesta del terrible matemático de secundaria.

Si ab> 0, entonces a> b. Cuando x se acerca al infinito en 1 / x, 1 / x se acerca a 0.

Por lo tanto, si a> b, entonces (b ^ -1) – (a ^ -1) debe ser mayor que 0.

Answer 4

AB es positivo definido, entonces A> B.

lo que significa que 1 / A debe ser <1 / B (un número mayor en el denominador de una fracción hará que la fracción sea pequeña, por ejemplo: 1/10 <1/2).

entonces 1 / B – 1 / A debe ser positivo definido.

excepto si A o B es 0. No será positivo definitivo porque no se puede dividir por 0.