En primer lugar, debemos comenzar por aclarar qué es la división. En el conjunto de números reales (denotado por [math] \ mathbb {R} [/ math]) dividir por un número es multiplicar por su inverso . Según la definición, para un número real [matemático] a \ in \ mathbb {R} [/ matemático], el inverso [matemático] b \ in \ matemático {R} [/ matemático] es un número tal que [matemático] a \ cdot b = 1 [/ math]. Resulta que, si existe un inverso de un número real, es único. Entonces podemos nombrarlo [math] b = a ^ {- 1} [/ math] sin ambigüedad.
El único número que no posee un inverso es [matemática] 0 [/ matemática], ya que no existe un número [matemática] c [/ matemática] que satisfaga [matemática] 0 \ cdot c = 1 [/ matemática]. Eso hace que la función [math] {\ cdot} ^ {- 1} \ colon \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} [/ math], que asigna cada número distinto de cero a su inverso, bien definido. El número [math] 1 [/ math] es un número especial, llamado unidad (o elemento neutral de multiplicación) ya que es el único número que satisface [math] 1 \ cdot a = a \ cdot 1 = a [/ math] para cualquier [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math].
Entonces la división [matemática] a \ div b [/ matemática] es solo una multiplicación [matemática] a \ cdot b ^ {- 1} [/ matemática] y está bien definida por el hecho de que un inverso de cada número distinto de cero es único. Y dado que no hay inverso de [matemáticas] 0 [/ matemáticas], no podemos dividir por cero.
El conjunto de números reales es un ejemplo de campo : una estructura algebraica con dos operaciones *, conmutativas ** relacionadas [matemáticas] + [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cdot [/ matemáticas] donde cada elemento distinto de cero tiene un inverso único. Podemos pensar en la multiplicación como una función [math] \ cdot \ colon \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math]. Lo mismo ocurre con [math] \ div \ colon \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \} [/ math].
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Si está familiarizado con la noción de grupo, las estructuras [math] (\ mathbb {R}, +) [/ math] y [math] (\ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}, \ cdot) [ / math] forma grupos (abelianos, es decir, conmutativos).
Antes de examinar espacios de vectores, a saber, espacios lineales (sobre un campo de escalares), echemos un vistazo a algunas otras estructuras algebraicas donde existen algunos problemas para proporcionar una operación de división. Por cierto, dado que la palabra “multiplicación” está un poco sobrecargada, en algunos espacios (piense en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]) podemos proporcionar más de una multiplicación (y, lo que es peor, de diferente tipo).
Hay algunos problemas posibles:
- El elemento neutral puede no existir . Considere el producto cruzado de los vectores en el espacio vectorial [math] 3 [/ math] -dimensional [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. No puede haber un vector [math] \ vec {u} \ in \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] tal que [math] \ vec {u} \ times \ vec {v} = \ vec {v} [ / math] para cada [math] \ vec {v} \ in \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] ya que el producto de dos vectores siempre es ortogonal para ambos (y un vector es ortogonal a sí mismo si y solo si es un vector nulo) Entonces el espacio lineal [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] junto con el producto cruzado no tiene una división ya que no hay unidad allí.
- el elemento neutral existe pero algunos elementos distintos de cero no poseen un inverso . Para cualquier [matemática] n> 1 [/ matemática] (el caso [matemática] n = 1 [/ matemática] es trivial) [matemática] \ mathbb {R} ^ n [/ matemática] puede equiparse con multiplicación por puntos. Se puede observar bien en el caso [math] 2 [/ math] -dimensional: definamos [math] (x_1, y_1) \ cdot (x_2, y_2) [/ math] como [math] (x_1x_2, y_1y_2) [/matemáticas]. Entonces [math] (0,1) [/ math] no tiene un inverso (¿por qué?). Entonces, en este caso, la división es defectuosa.
¿Y qué hay del producto punto? El problema es que el producto de dos vectores es un escalar que no es lo mismo que el vector. Es difícil incluso decir algo sobre la unidad, ya que la expresión [matemáticas] \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = \ vec {u} [/ matemáticas] ahora no tiene sentido (a menos que el espacio sea unidimensional). No hay forma razonable de definir una operación inversa para el producto punto.
Los espacios vectoriales no poseen multiplicación en general. La estructura algebraica adecuada que combina la suma de vectores con la multiplicación es un álgebra (sobre un campo). Es un espacio vectorial [matemático] (V, +) [/ matemático] sobre un determinado campo [matemático] \ matemático {K} [/ matemático] con una operación binaria adicional [matemático] \ cdot \ colon V \ veces V \ a V [/ math] llamado multiplicación (¡qué sorpresa!) con algunas condiciones (para cualquier [math] x, y, z \ en V [/ math] y [math] \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {K }[/matemáticas]):
- distributividad derecha : [matemáticas] (x + y) \ cdot z = x \ cdot z + y \ cdot z [/ math],
- distributividad izquierda : [matemáticas] x \ cdot (y + z) = x \ cdot y + x \ cdot z [/ matemáticas],
- compatibilidad con escalares : [math] (\ alpha x) \ cdot (\ beta y) = (\ alpha \ beta) (x \ cdot y) [/ math].
En otras palabras, un álgebra consiste en vectores que pueden multiplicarse adicionalmente por sí mismos.
Observemos que la operación binaria [math] \ cdot [/ math] ya no se supone que sea conmutativa. Hay algunos casos en los que un espacio lineal tiene una multiplicación “agradable”, pero en general a veces no hay esperanza para tal operación (veremos más por qué).
Edwin Lo dio un ejemplo muy informativo del espacio dimensional [matemático] 2 [/ matemático] cuando los vectores de hecho pueden dividirse . Si definimos en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] el producto [math] (x_1, y_1) \ cdot (x_2, y_2) [/ math] como [math] (x_1x_2-y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1) [/ math], entonces tenemos una división bien definida [math] \ div \ colon \ mathbb {R} ^ 2 \ times \ mathbb {R} ^ 2 \ setminus \ {(0,0) \} \ to \ mathbb {R} ^ 2 \ setminus \ {(0,0) \} [/ math] dado por (compruébelo usted mismo):
[matemáticas] (x_1, y_1) \ div (x_2, y_2) = \ left (\ frac {x_2y_1-x_1y_2} {x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2}, \ frac {x_1x_2 + y_1y_2} {x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2} \ right) [/ math]
Esta multiplicación es evidentemente diferente a la de punto. Y sí, esta estructura se corresponde directamente con el conjunto de números complejos [math] \ mathbb {C} [/ math]. Si está familiarizado con los cuaterniones, el conjunto [math] \ mathbb {H} [/ math] de elementos de la forma:
[matemáticas] a + b {\ bf i} + c {\ bf j} + d {\ bf k} [/ matemáticas]
donde [math] a, b, c, d \ in \ mathbb {R} [/ math] y [math] {\ bf i}, {\ bf j}, {\ bf k} [/ math] son unidades fundamentales satisfactoria [matemática] {\ bf i} ^ 2 = {\ bf j} ^ 2 = {\ bf k} ^ 2 = -1 [/ matemática], puede reconocer que hay otro espacio de dimensión finita que tiene un Multiplicación “agradable” que nos permite dividir vectores. Es un álgebra de división de cuatro dimensiones sobre los números reales. En resumen, es un álgebra en el que la división siempre es posible (excepto por cero, por supuesto).
Y hay un teorema de Frobenius que dice que no hay álgebras de división asociativas (que es una propiedad extremadamente deseada) sobre números reales que no sean [math] \ mathbb {R} [/ math], [math] \ mathbb {C} [ / math] y [math] \ mathbb {H} [/ math]. Entonces, la conclusión es que si la dimensión del espacio es diferente a [matemática] n = 1,2,4 [/ matemática], no debe esperar ninguna multiplicación “agradable” para los vectores porque simplemente no existe ** *.
Recuerde, he asumido que estamos trabajando sobre el campo de los números reales en espacios de dimensiones finitas.
* Estas operaciones no son independientes, tienen que satisfacer la propiedad distributiva: [matemática] a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ math] para cualquier [matemática] a, b, c [/matemáticas].
** Eso solo significa [math] a \ cdot b = b \ cdot a [/ math] para cualquier [math] a, b [/ math].
*** Para [matemática] n = 8 [/ matemática] de hecho hay otro álgebra con división pero ya no asociativa, ver: octonions.