¿Cuál es la prueba rigurosa de que para un lineal funcional [matemáticas] \ phi [h] [/ matemáticas] y [matemáticas] \ phi [h] / || h || \ rightarrow 0 [/ math] como [math] || h || \ rightarrow 0 [/ math], luego [math] \ phi [h] = 0 [/ math] para todas las funciones [math] h [/ math]?

Answer 1

La primera parte de esta prueba está parafraseada de la prueba dada en “Cálculo de variaciones” por Gelfand y Fomin en la pág. 12. La segunda mitad (todo después del ” porque ” en negrita a continuación) es mi conclusión de casos que se suponía que eran obvios.

Suponga que existe un [math] \ phi [h_0] \ neq 0 [/ math] para algunos [math] h_0 \ neq 0 [/ math]. Luego configurando,

[matemáticas] h_n = h_0 / || h_n || , \ lambda = \ phi [h_0] / || h_0 || [/ math]

vemos que [matemáticas] || h_n || \ rightarrow 0 [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math] y,

[matemáticas] lim_ {n \ to \ infty} {\ phi [h_n] / || h_n || } = lim_ {n \ to \ infty} {n \ phi [h_0] / (n || h_0 ||)} = \ lambda \ neq 0 [/ math].

Esto es una contradicción porque asumimos que el límite era 0. Entonces, hemos demostrado que si tal [matemática] \ phi [h_0] \ neq 0 [/ matemática] para alguna [matemática] h_0 \ neq 0 [/ matemática] entonces No puede darse el caso de que nuestras condiciones se cumplan. Por lo tanto, [math] \ phi [h_0] = 0 [/ math] cuando [math] h_0 \ neq 0 [/ math].

Si, por otro lado, [matemáticas] h_0 = 0 [/ matemáticas], entonces por las propiedades de los funcionales lineales,

[matemáticas] \ phi [h_0] = \ phi [0 \ cdot h_0] = 0 \ cdot \ phi [h_0] = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ phi [h_0] = 0 [/ math] cuando [math] h_0 = 0 [/ math].

Por lo tanto, dados los supuestos de la pregunta, hemos demostrado rigurosamente que [math] \ phi [h_0] = 0, \ forall h_0 [/ math].

Answer 2

Sugerencia: considere [math] \ phi [ch] [/ math] como la constante [math] c \ to 0 [/ math].