¿Cuál es la definición de vector?
Vector es un conjunto de números manipulados como una unidad con operaciones como suma, resta, multiplicación … y división.
Sí, los vectores constituyen un campo, pero los matemáticos no lo saben.
Solo es cuestión de definir una forma adecuada de multiplicación y, voilà, puedes calcular el inverso multiplicativo de los vectores.
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Suponga que un vector se define con cuatro números reales, por ejemplo, A = (0, 3, 4, 7), donde el primero se llama escalar y los otros tres elementos constituyen el vector clásico tridimensional (3D) [math] \ mathbf { a} = (3,4,7) [/ math], que representamos en forma abreviada con letras en negrita, por lo que un vector de cuatro puede representarse como [math] A = [a, \ mathbf {a}] [/ matemáticas].
La adición de cuatro vectores se realiza de la manera clásica: [matemática] A + B = [a, \ mathbf {a}] + [b, \ mathbf {b}] = [a + b, \ mathbf {a} + \ mathbf {b}] [/ math]. por ejemplo, si definimos B = (0, -2, 2, -3), la adición de A más B es (0, 1, 6, 4).
Una forma de definir la multiplicación de cuatro vectores es:
[matemáticas] A * B = [a, \ mathbf {a}] * [b, \ mathbf {b}] = [a \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}, a \ mathbf {b} – b \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}] [/ math]
Donde [math] \ cdot [/ math] es el producto punto clásico, y [math] \ times [/ math] es el producto cruzado clásico.
Para nuestro ejemplo cuatro vectores A y B, su producto es [matemática] A * B = (- 19, -26, -5, 14) [/ matemática].
Pero tal vez desee calcular el inverso multiplicativo del vector A. Para esto, simplemente divida A entre la suma de los cuadrados de sus elementos, lo que da como resultado 74 en este caso: [matemáticas] 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 7 ^ 2 = 74 [/ matemáticas]: [matemáticas] A ^ {- 1} = \ frac {1} {74} (0, 3, 4, 7) [/ matemáticas].
Verifiquemos que esta sea la inversa simplemente multiplicando: [matemática] A * A ^ {- 1} = (1, 0, 0, 0) [/ matemática].
Esta es la unidad de cuatro vectores! Es como habíamos dividido el vector A por sí mismo.
