¿Hay ejemplos de espacios vectoriales topológicos que estén incompletos (espacios métricos)?

Answer 1

El espacio de funciones continuas [matemáticas] f: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] con respecto a la norma

[matemáticas] \ displaystyle \ | f \ | _p = \ left (\ int_0 ^ 1 | f (x) | ^ p dx \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, [/ math]

donde [math] 1 \ leq p <\ infty [/ math] no está completo. Su finalización se llama espacio Lp, y ocurre en muchos campos de las matemáticas. En particular [matemática] L ^ 2 [0,1] [/ matemática] es un espacio de producto interno con producto interno

[matemáticas] \ displaystyle \ langle f, g \ rangle_2 = \ int_0 ^ 1 f (x) g (x) dx [/ math].

El intervalo no necesita ser [matemático] [0,1] [/ matemático]. La definición puede extenderse naturalmente a las funciones [matemáticas] \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] (requiere que las funciones continuas tengan un soporte compacto en este caso, por lo que la norma es finita) o incluso un valor complejo funciones

Por cierto, cualquier espacio normado dimensional finito sobre un campo completo está completo, por lo que los únicos ejemplos de espacios incompletos que verá son campos incompletos (como [math] \ mathbb {Q} [/ math]) o son infinitos dimensional.

Answer 2

Buenas respuestas hasta ahora. Agregaré el espacio de las funciones polinómicas en un intervalo [matemático] [a, b]. [/matemáticas]

(Ejercicios para el lector: ¿cuáles son algunas topologías naturales en ese espacio? ¿Por qué no compite con respecto a la topología seleccionada?)

Answer 3

Los espacios vectoriales topológicos no vienen con métricas. La mayoría de ellos ni siquiera son metrizables como espacios topológicos: un ejemplo estándar es el espacio

[math] \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}}: = \ {f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \; El | \; f \ text {es una función} \} [/ math]

equipado con la topología del producto (es decir, la topología de convergencia puntual), que no puede ser metrizable ya que no es [matemática] T_4 [/ matemática], aunque la prueba de este hecho no es trivial.

Existe una noción no métrica de integridad que se puede aplicar a un espacio vectorial topológico. Podemos decir que una secuencia de puntos [matemática] x_n [/ matemática] es Cauchy si, para cada vecindad abierta U del origen, hay algún número N para el cual [matemática] x_n – x_m \ en U [/ matemática] para todos [matemática] m, n> N [/ matemática]. Luego, puede definir la integridad de la forma habitual, aunque en realidad desea utilizar redes en lugar de secuencias por razones técnicas.

Por supuesto, esta propiedad no es disfrutada por los espacios vectoriales topológicos arbitrarios. Para ver ejemplos, puede ver muchas de las otras respuestas aquí.

Entonces la pregunta realmente no tiene sentido como se dijo.

Answer 4

El espacio W de secuencias infinitas de números reales (a1, a2, a3, a4, …) donde solo finitamente (posiblemente ninguno) de los ai son distintos de cero. Utilice la métrica euclidiana habitual: distancia (a, b) = Sqrt [sum_i ((ai-bi) ^ 2)].

Answer 5

La topología inducida en Q (el conjunto de números racionales) por la topología natural en R (el conjunto de números reales) es incompleta como espacio métrico y es un entorno importante para la informática.