¿Cómo podemos construir una matriz invertible pero no diagonalizable?

Answer 1

Bueno, demos un ejemplo simple de una matriz [math] 2 \ times2 [/ math]. Sabemos lo siguiente:

1. La matriz es invertible si y solo si el determinante no es igual a 0.
2. La matriz no puede ser diagonizable (sobre [math] \ mathbb {R} [/ math]) si no tiene valores propios reales.

Entonces, veamos la siguiente matriz:

[matemáticas] A = \ begin {pmatrix}
0 y 1 \\
-1 y 0 \ end {pmatrix} [/ math]

Es invertible porque [matemática] det (A) = 1 \ neq 0. [/ Matemática] El polinomio característico viene dado por

[matemáticas] \ lambda ^ 2 +1 = 0. [/ matemáticas]

Por lo tanto, no hay valores propios reales y la matriz no es diagonizable.

Otro ejemplo sería

[matemáticas] \ begin {pmatrix}
1 & b \\
0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math]

para [math] b \ neq 0. [/ math] Aquí tiene el valor propio [math] 1 [/ math] (dos veces), pero el eigenspace tiene solo una dimensión [math] 1. [/ math]

Answer 2

Necesita una matriz cuyas multiplicidades algebraicas de valores propios no sumen la suma de sus multiplicidades geométricas.

El ejemplo más simple es cualquier matriz [math] 2 \ times 2 [/ math] que tenga un valor propio repetido [math] \ lambda [/ math] como raíz del polinomio característico, pero [math] \ lambda [/ math] solo tiene un espacio propio unidimensional. Si esta matriz es [matemáticas] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} [/ math], entonces

[matemáticas] \ begin {vmatrix} xa & -b \\ -c & xd \ end {vmatrix} = (xa) (xd) -bc = x ^ 2- (a + d) x + (ad-bc). [ /matemáticas]

Para que esto tenga una raíz repetida, requerimos

[matemáticas] (a + d) ^ 2-4 (ad-bc) = 0. [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + 2ad + d ^ 2-4ad + 4bc = 0. [/ matemáticas]

[matemáticas] (anuncio) ^ 2 = -4bc. [/ matemáticas]

En tal caso, el valor propio repetido es [math] \ dfrac {a + d} {2} [/ math].

Por lo tanto, cualquier [math] 2 \ times 2 [/ math] matriz no diagonal [math] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} [/ math] satisfactoria [math] (ad) ^ 2 + 4bc = 0 [/ math] y [math] ad \ ne bc [/ math] es una matriz invertible pero no diagonalizable.

Answer 3

La siguiente respuesta ¿Existe una relación entre la invertibilidad y la diagonalización de una matriz? (incluso sobre una base porcentual, en lugar de una necesaria / suficiente)? da una buena discusión y (contra) ejemplos. El bloque básico de Jordan [matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & c \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] es específico

Answer 4

La invertibilidad y la diagonalización no tienen nada que ver entre sí. El primero es una propiedad de los valores propios, el segundo del espacio propio, o vectores propios. Ejemplo simple

[matemática] \ left (\ begin {array} {ll} 1 1 \\ 0 1 \ end {array} \ right) [/ math]

Soy invertible pero no diagonizable. Tiene un doble valor propio 1, pero la dimensión del espacio propio correspondiente es solo 1, no 2. Tal matriz se llama defecto.

Si una matriz tiene un valor propio 0, no se puede invertir.