¿Es cierto que si [math] c_1, …, c_n [/ math], [math] n \ geq 2, [/ math] son ​​números complejos que satisfacen [math] \ sum_ {i = 1} ^ n c_i ^ k = 0 [/ math] para todos [math] k = 1,2,…, n-1 [/ math] luego [math] | c_1 | =… = | c_n | [/ math]?

Answer 1

Sí.

Arregle [math] n [/ math] y considere los polinomios simétricos de suma de potencia

[matemáticas] \ displaystyle p_k (t_1, \ ldots, t_n) = \ sum_ {i = 1} ^ n t_i ^ k [/ matemáticas]

Es bien sabido que los polinomios [matemática] p_1, p_2, \ ldots, p_n [/ matemática] generan el anillo de polinomios simétricos sobre cualquier campo de característica [matemática] 0 [/ matemática]. En particular, las funciones simétricas elementales

[matemáticas] \ displaystyle s_k (t_1, \ ldots, t_n) = \ sum_ {i_1 <i_2 <\ ldots i_k} t_ {i_1} t_ {i_2} \ cdots t_ {i_k} [/ math]

Se pueden expresar como polinomios con coeficientes racionales de [math] p_k [/ math]. De hecho, la prueba muestra que el último polinomio [math] p_n [/ math] solo es necesario para la última función simétrica elemental [math] s_n [/ math].

En nuestro caso, se nos dice que

[matemática] p_k (c_1, \ ldots, c_n) = 0 [/ matemática]

para todos [math] 1 \ leq k \ leq n-1 [/ math]. Por lo tanto, la función simétrica elemental [math] s_k [/ math] también desaparece para [math] 1 \ leq k \ leq n-1 [/ math], lo que significa que el polinomio

[matemáticas] \ displaystyle P (T) = (T-c_1) (T-c_2) \ cdots (T-c_n) [/ math]

es igual

[matemáticas] T ^ n-c_1c_2 \ cdots c_n [/ matemáticas]

porque todos los demás coeficientes desaparecen. En otras palabras, las [matemáticas] c_i [/ ​​matemáticas] son ​​todas raíces [matemáticas] n ^ \ text {th} [/ matemáticas] del mismo número, y en particular tienen el mismo módulo. QED

Answer 2

Solo como una variación de la respuesta de Alon Amit:

Es fácil ver que para [matemáticas] d_j = e ^ {2 \ pi ji / n} [/ matemáticas] las sumas de las k-ésimas potencias [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n d_i ^ k = 0 [/ math] para todos [math] k = 1,2, \ ldots, n-1 [/ math].

Si el producto de [math] c_i [/ ​​math] no es cero, podemos escalarlos simultáneamente para que su producto sea el producto de [math] d_i [/ ​​math]. Entonces, la teoría de los polinomios simétricos asegura que estos [math] c_i [/ ​​math] escalados sean iguales a [math] d_i [/ ​​math] hasta la permutación.

Si el producto es cero, entonces la misma teoría de polinomios simétricos asegura que todos los números sean cero.