Cómo encontrar las ecuaciones de la línea tangente a la curva [matemáticas] f (x) = \ displaystyle \ frac 1 {x ^ {} + 1} [/ matemáticas] que pasan por el punto [matemáticas] (2,0) [/matemáticas]

Answer 1

La pregunta me parece un error tipográfico, quizás un exponente perdido. Respondamos la pregunta para

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {1} {x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

Por la regla [math] d \ frac uv = (v du – udv) / v ^ 2 [/ math]

[matemáticas] f ‘(x) = \ dfrac {- 2 x} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} [/ matemáticas]

Esa es la pendiente [matemáticas] m = f ‘(x) [/ matemáticas] de nuestra línea. Nuestra tangente en [matemáticas] x = r [/ matemáticas] pasa a través de [matemáticas] (r, f (r)) [/ matemáticas] por lo que su ecuación es

[matemáticas] y = f (r) + f ‘(r) (x – r) [/ matemáticas]

Si queremos que pase también por [matemáticas] (a, b) [/ matemáticas] eso significa

[matemáticas] b = f (r) + f ‘(r) (a – r) [/ matemáticas]

Conectando nuestros valores incluyendo [matemática] (a, b) = (2,0), [/ matemática]

[matemáticas] 0 = \ dfrac {1} {r ^ 2 + 1} + \ dfrac {- 2 r} {(r ^ 2 + 1) ^ 2} (2-r) [/ matemáticas]

Multiplicar ambos lados por [matemáticas] (r ^ 2 + 1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] 0 = r ^ 2 + 1 – 2 r (2-r) = 3 r ^ 2 – 4 r + 1 = (3r – 1) (r-1) [/ matemática]

[matemáticas] r = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] r = \ frac 1 3 [/ matemáticas]

Caso [matemática] r = 1 [/ matemática]: [matemática] f (r) = \ frac 1 2 \ quad f ‘(r) = – \ frac 1 2 [/ matemática]

Caso [matemática] r = \ frac 1 3 [/ matemática]: [matemática] f (r) = \ frac {9} {10} [/ matemática] y [matemática] f ‘(r) = – \ frac {27 } {50} [/ matemáticas]

Comprobar: alfa

[matemáticas] y = f (r) + f ‘(r) (x – r) [/ matemáticas]

Trace y = 1 / (x ^ 2 + 1), y = 1/2 – (1/2) (x – 1), y = 9/10 – (27/50) (x – 1/3)

Answer 2

Dado que [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {x ^ {+ 1}} = \ frac {1} {x} [/ matemáticas];

La ecuación de la tangente a la curva [matemática] f (x) [/ matemática] que pasa por [matemática] P (2, 0) [/ matemática] es:

[matemática] y – 0 = m (x – 2) [/ matemática], donde [matemática] m = \ frac {\ mathrm df (x)} {\ mathrm dx} | _ {x = 2} = – \ frac {1} {x ^ 2} | _ {x = 2} = – \ frac {1} {4} [/ matemáticas]

Por lo tanto, nuestra ecuación se convierte en [matemáticas] y = – \ frac {1} {4} \ veces (x-2) [/ matemáticas] o [matemáticas] y = – \ frac {1} {4} x + \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Answer 3

La línea tangente de un punto en una curva también es la pendiente / tasa de cambio instantánea en ese punto. Por lo tanto, debemos tomar la derivada de esta función para encontrar primero la pendiente de la línea tangente.

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Tomando la derivada de [math] \ dfrac {1} {x + 1} [/ math], obtenemos [math] – \ dfrac {1} {{\ left (x + 1 \ right)} ^ {2}} [/ math] convirtiendo esto en una expresión exponente, luego tomando la derivada usando la regla de potencia. No necesita la regla de la cadena ya que [math] 1 [/ math] es una constante, por lo que no juega un papel en la derivada de una función.

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Una vez obtenida nuestra fórmula de pendiente, podemos evaluarla en [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas], su punto deseado.

La evaluación simple y la simplificación dan la pendiente de la línea tangente en [math] – \ dfrac {1} {9} [/ math]. Ahora, conociendo la pendiente, podemos derivar una ecuación para la línea tangente.

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Usando la fórmula punto-pendiente [matemática] y – y1 = m \ izquierda (x – x1 \ derecha) [/ matemática], ¡podemos simplemente sustituir y obtener nuestra ecuación!

Por lo tanto, obtenemos la ecuación [math] y = – \ dfrac {1} {9} \ left (x – 2 \ right) [/ math].

Puede convertir fácilmente el formulario si lo necesita de alguna otra manera.

Espero que esto ayude.

Answer 4