¿Cómo derivamos la ecuación p * v ^ n (ecuación adiabática)?

Answer 1

1. Comience con la ecuación general: [matemáticas] dE = TdS-pdV [/ matemáticas]
2. Para un proceso adiabático cuasiestático , [matemática] dS = 0 [/ matemática] (ningún flujo de calor es un criterio equivalente). Por lo tanto, [math] dE = -pdV [/ math].
3. Recuerde que [matemática] E = \ frac {f} {2} NkT [/ matemática], entonces [matemática] dE = \ frac {f} {2} NkdT [/ matemática], suponiendo que [matemática] N [/ matemática] es constante Por lo tanto, [math] \ frac {f} {2} NkdT = -pdV [/ math].
4. Para un gas ideal , t [matemática] pV = NkT [/ matemática], por lo que podemos reemplazar [matemática] p [/ matemática] con [matemática] NkT / V [/ matemática]. Esto simplifica la ecuación anterior (después de un poco de álgebra) a [matemáticas] \ frac {f} {2} \ frac {dT} {T} = – \ frac {dV} {V} [/ matemáticas]
5. Por lo tanto, [*], [matemáticas] \ frac {f} {2} \ ln (T) = – \ ln (V) + C [/ matemáticas], [matemáticas] T ^ {f / 2} = C / V [ /matemáticas]. Esto produce [math] VT ^ {f / 2} = [/ math] const. [Acabamos de derivar una ecuación clave, ¡casi allí!]
6. Desde aquí, simplemente sustituimos [math] T \ sim pV [/ math] (soltando las constantes [math] Nk [/ math]) para obtener [math] p ^ {f / 2} V ^ {f / 2 + 1 } = p ^ {f / 2} V ^ {\ frac {f + 2} {2}} = [/ matemáticas] const.
7. Finalmente, tome la raíz [matemática] f / 2 [/ matemática] de ambos lados (también podríamos haber multiplicado por [matemática] 2 / f [/ matemática] en el punto anterior [*] si hubiéramos querido), y obtienes [matemática] pV ^ {\ frac {(f + 2) / 2} {f / 2}} = pV ^ \ gamma = [/ matemática] constante. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Puede haber un resultado un poco más general, pero este es probablemente el caso donde lo ha visto surgir.

Answer 2

Si quiere decir “tomar la derivada de”, usaría la regla del producto para comenzar.

Digamos que quería (d / dT) (PV ^ n) (en este caso, “n” significa gamma, que no voy a tratar de encontrar el Unicode). Eso es (dP / dT) V ^ n + P (d / dT) V ^ n, y luego haces la regla de potencia estándar para obtener nV ^ (n-1) y la regla de la cadena para obtener dV / dT.

Si quiere decir “derivar la ecuación”, eso es un poco más difícil de hacer en un texto normal. Pero comienza con la Ley de Gas Ideal, PV = nRT (n aquí es el número de moles). Luego encuentre el diferencial de ambos lados, suponiendo que ny R son constantes:

d (PV) = nRdT

Aplicar la regla del producto, PdV + VdP = nRdT.

El problema con esto es que tenemos tres diferenciales, un poco difíciles de resolver analíticamente. Si podemos reducirlo a dos diferenciales, podemos separarlos a ambos lados de la ecuación e integrarlos. La forma habitual es relacionar dV con dT.

Cuando se usa una presión constante para cambiar el volumen, el cambio en la energía interna es dE = -PdV (signo menos porque hacerlo más pequeño, un dV negativo, aumenta la energía a medida que se aprieta). En general, el cambio en la energía interna está relacionado con el cambio en la temperatura, dE = nCdT donde C es la capacidad de calor molar a volumen constante (generalmente tiene un subíndice V que no voy a tratar de incluir aquí). La combinación de estos le da dT en términos de dV y un montón de constantes, que puede sustituir en:

PdV + VdP = nR [-PdV / nC] y las n se cancelan.

Cambia todo y eventualmente terminas con:

PdV [(C + R) / C] + VdP = 0.

(C + R) / C es solo un número, que depende del gas que esté usando. Es más sencillo reemplazarlo con un solo símbolo, que es la gamma utilizada en PV ^ (gamma). Haga un poco más de separación e integración y básicamente obtendrá que PV ^ (gamma) es una constante que no tiene que calcular, ya que ahora sabe que PV ^ (gamma) tiene que ser el mismo antes y después de un proceso adiabático.