¿A qué distancia está la línea 3x – 4y + 15 = 0 del origen?

Derivemos el caso general de cuán lejos está [math] ax + by + c = 0 [/ math] del origen.

La distancia desde una línea a un punto es la longitud del segmento perpendicular desde la línea hasta el punto.

Nuestros perpendiculares serán [math] bx -ay = \ textrm {constant} [/ math] y aquí la constante debe ser cero porque queremos el perpendicular a través del origen:

[matemáticas] bx = ay [/ matemáticas]

Esto cumple con la primera línea cuando

[matemáticas] ax + b (bx / a) + c = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 x + b ^ 2 x = -ac [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ dfrac {ac} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = bx / a = – \ dfrac {bc} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora la distancia que buscamos es

[matemáticas] d = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2} } = \ dfrac {| c |} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} [/ math]

En nuestro caso obtenemos

[matemáticas] d = \ dfrac {15} {\ sqrt {3 ^ 2 + (-4) ^ 2}} = 3 [/ matemáticas]

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