Dado que [matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x + 17} + \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x – 3} = 10 [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de [matemáticas] x ^ 2 + 2x [/matemáticas]?

Answer 1

La ecuación dada es

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x + 17} + \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x-3} = 10 \ ldots (1) \\ [/ matemáticas]

Tenemos, idénticamente ,

[matemáticas] \ displaystyle (2017x ^ 2 + 4034x + 17) – (2017x ^ 2 + 4034x-3) = 17 – (-3) = 20 \ ldots (2) \\ [/ matemáticas]

Dividiendo (2) por (1), obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x + 17} – \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x-3} = 2 \ ldots (3) \\ [/ matemáticas]

Sumando (1) y (3),

[matemáticas] \ displaystyle 2 \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x + 17} = 12 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2017x ^ 2 + 4034x + 17 = 36 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2017 (x ^ 2 + 2x) = 19 [/ matemáticas]

y por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 + 2x = \ frac {19} {2017}. [/ matemáticas]

Answer 2

Como necesitamos encontrar [matemáticas] x ^ 2 + 2x [/ matemáticas], reemplacemos esa cantidad con [matemáticas] y [/ matemáticas]. Nuestra ecuación se convierte en:

[matemáticas] \ sqrt {2017y +17} + \ sqrt {2017y – 3} = 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {2017y +17} = 10 – \ sqrt {2017y – 3} [/ matemáticas]

Cuadrado a ambos lados:

[matemáticas] 2017y + 17 = 100 – 20 \ sqrt {2017y – 3} + 2017y – 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 = \ sqrt {2017a – 3} [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 = 2017y – 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ en caja {\ dfrac {19} {2017}} [/ matemáticas]

Answer 3

Deje que [matemáticas] 2017 x ^ 2 + 4034x + 7 = y [/ matemáticas] entonces

[matemáticas] \ sqrt {y + 10} + \ sqrt {y-10} = 10 ……. (1) [/ matemáticas]

Multiplicar ambos lados por [math] \ sqrt {y + 10} – \ sqrt {y-10} [/ math]

[matemáticas] {(y + 10) – (y-10)} = 10 (\ sqrt {y + 10} – \ sqrt {y-10}) \ implica [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {y + 10} – \ sqrt {y-10} = 2 ……… (2) [/ matemáticas]

Agregar [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {y + 10} = 6 [/ matemáticas]

Cuadratura

[matemáticas] y + 10 = 36 \ flecha derecha y = 26 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2017 x ^ 2 + 4034x + 7 = 26 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2017 (x ^ 2 + 2x) = 26 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 2x = \ dfrac {19} {2017} [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x + 17} + \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x – 3} = 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {2017 (x ^ 2 + 2x) + 17} + \ sqrt {2017 (x ^ 2 + 2x) – 3} = 10 [/ matemáticas]

Uso de identidad: [matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2017 (x ^ 2 + 2x) + 17 + 2 \ sqrt {2017 (x ^ 2 + 2x) + 17} \ sqrt {2017 (x ^ 2 + 2x) – 3} + 2017 (x ^ 2 + 2x) – 3 = 100 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2017 (x ^ 2 + 2x) + \ sqrt {2017 (x ^ 2 + 2x) + 17} \ sqrt {2017 (x ^ 2 + 2x) – 3} = 43 [/ matemáticas]

Answer 5

Podemos notar que [matemática] 2017x ^ 2 + 4034x = 2017 (x ^ 2 + 2x) [/ matemática] y hacer la sustitución [matemática] u = x ^ 2 + 2x [/ matemática]:

[matemáticas] \ sqrt {2017u + 17} + \ sqrt {2017u – 3} = 10 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {2017u-3} = 10 – \ sqrt {2017u + 17} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2017u – 3 = 100 – 20 (\ sqrt {2017u + 17}) + 2017u + 17 [/ matemáticas]

[matemáticas] 6 = \ sqrt {2017u + 17} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2017u + 17 = 36 [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ dfrac {19} {2017} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {x ^ 2 + 2x = \ dfrac {19} {2017}} [/ matemáticas]

Answer 6

El método de fuerza bruta siempre dará soluciones, por lo que estas ecuaciones algebraicas no requieren mucha creatividad para resolverlas, aunque las soluciones creativas pueden hacer que resolverlas sea mucho más fácil.

Amigo, la próxima vez publique un problema menos mecánico, y no me responda.

Answer 7

Hacemos sustitucion variable

[matemáticas] u = x ^ 2 + 2x [/ matemáticas]

Obtenemos

[matemáticas] \ sqrt {2017u + 17} + \ sqrt {2017u-3} = 10 [/ matemáticas]

Cuadrando ambos lados

[matemáticas] 2 (2017u + 7 + \ sqrt {(2017u + 17) (2017u-3)}) = 100 [/ matemáticas]

Algunas reordenaciones y cuadraturas

([matemáticas] 2017u-43) ^ 2 = (2017u + 17) (2017u-3) [/ matemáticas]

Esto nos da la solución cuadrática para resolver

[matemáticas] 2017 ^ 2 u ^ 2 – 201700u + 43 ^ 2-51 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ frac {100 \ pm \ sqrt {2808}} {4034} [/ matemáticas]

La última parte la sustituimos pero puedes hacerlo tú mismo

Answer 8

Deje [math] y = 2017x ^ 2 + 4034x [/ math].

Luego buscamos [matemáticas] y [/ matemáticas] cuando [matemáticas] \ sqrt {y + 17} + \ sqrt {y-3} = 10. [/ Matemáticas]

Escribiendo la ecuación como [math] \ sqrt {y + 17} = 10- \ sqrt {y-3} [/ math] podemos cuadrar para escribir

[matemática] y + 17 = 100–20 \ sqrt {y-3} + y-3 [/ matemática] que simplifica para dar [matemática] 5 [/ matemática] [matemática] – \ sqrt {y-3} = 1 .[/matemáticas]

Continuando, [matemática] \ sqrt {y-3} = 4 [/ matemática] y [matemática] y = 19 [/ matemática] de la cual [matemática] x ^ 2 + 2x = \ dfrac {19} {2017}. [ /matemáticas]