Puede comenzar visualizando el problema. Ambas ecuaciones describen puntos en el plano euclidiano. Si colorea los puntos que satisfacen la primera ecuación en rojo, y los que satisfacen la segunda ecuación en azul, comienza a tener una idea de cuántos puntos satisfarán ambos al mismo tiempo.
¿Puedes ver que (1; 0) y (0; 1) parecen ser soluciones?
Sin embargo, esto no es exacto. Es fácil comprobar que (x = 1 e y = 0) y (x = 0 e y = 1) son soluciones, pero no está claro si existen otras soluciones.
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Para resolverlo, necesitará un enfoque analítico. La primera ecuación se puede resolver para x (porque cada número tiene exactamente un tercio de raíz), le da:
[matemáticas] x = \ sqrt [3] {1-y ^ 3} [/ matemáticas]
Esta expresión se puede sustituir por la otra ecuación, dándote una ecuación que solo tiene una variable:
[matemática] \ left (\ sqrt [3] {1-y ^ 3} \ right) ^ 4 + y ^ 4 = 1 [/ math]
O escrito un poco más agradablemente:
[matemáticas] \ izquierda (1-y ^ 3) \ derecha) ^ {\ frac {4} {3}} + y ^ 4 = 1 [/ matemáticas]
Ahora, esa es una ecuación bastante horrible, y resolverla algebraicamente parece bastante horrible. ¡Ingrese el análisis funcional!
Desea mostrar que la función
[matemáticas] f (x) = \ left (1-x ^ 3) \ right) ^ {\ frac {4} {3}} + x ^ 4 [/ math]
Solo obtiene el valor 1 para [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]
Si puede demostrar que está disminuyendo de manera monótona hasta alrededor de [matemática] x = 0.79 [/ matemática] donde toma un mínimo de aproximadamente [matemática] f (0.79) \ aproximadamente 0.79 [/ matemática], y luego aumenta de manera monótona, sea feliz. Porque puede tener como máximo dos instancias del valor 1.
Tomamos la derivada:
[matemáticas] f ‘(x) = -3x ^ 2 \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ left (1-x ^ 3) \ right) ^ {\ frac {1} {3}} + 4x ^ 3 [/ matemáticas]
[math] f [/ math] es una función muy suave, solo puede tomar valores extremos (o cambiar la monotonía) cuando [math] f ‘(x) = 0 [/ math]. Esa ecuación es más fácil de resolver debido al cero en el lado derecho:
[matemáticas] -3x ^ 2 \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ left (1-x ^ 3) \ right) ^ {\ frac {1} {3}} + 4x ^ 3 = 0 [/ matemáticas]
Nos damos cuenta de inmediato de que [matemática] x = 0 [/ matemática] es una solución, por lo que al continuar buscando otras soluciones, podemos dividir por [matemática] x ^ 3 [/ matemática]. Eso te da:
[matemáticas] -3 \ cdot x ^ {- 1} \ frac {4} {3} \ cdot \ left (1-x ^ 3) \ right) ^ {\ frac {1} {3}} + 4 = 0 [/matemáticas]
[matemáticas] -4 \ cdot \ left (x ^ {- 3} \ right) ^ \ frac {1} {3} \ cdot \ left (1-x ^ 3) \ right) ^ {\ frac {1} { 3}} + 4 = 0 [/ matemáticas]
Restando 4, dividiendo por -4, y combinando las terceras raíces:
[matemática] \ left (x ^ {- 3} -1) \ right) ^ {\ frac {1} {3}} = 1 [/ math]
Elevando al tercer poder:
[matemáticas] x ^ {- 3} -1 = 1 [/ matemáticas]
Agregando uno, elevando al poder -1/3:
[matemáticas] x = 2 ^ {- \ frac {1} {3}} \ aproximadamente 0.794 [/ matemáticas]
Finalmente, puede conectar cualquier [matemática] x <0 [/ matemática], cualquier [matemática] 0 <x 0,8 [/ matemática] en [matemática] f ‘(x) [/ math] para ver que disminuye antes de cero, y disminuye después de cero, y luego aumenta después de la solución [math] x \ aproximadamente 0.794 [/ math] que encontramos.