Cómo distinguir de la forma estándar y = ax ^ 2 + bx + c si una función cuadrática tiene dos ceros reales

Answer 1

Tal vez puedas intentar deducir esto tú mismo. Intente resolver y = 0 para x y vea qué sucede, y si necesita hacer alguna suposición. De lo contrario, así es como lo derivaría:

Si y = 0, entonces tenemos que resolver

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Es posible que haya oído hablar de ‘completar el cuadrado’: tratamos de escribir todos los términos x dentro de una expresión ordenada.

En primer lugar, podemos dividir por a (podemos suponer que a no es cero; de lo contrario, no tenemos una función cuadrática).

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} = 0 [/ matemáticas]

A continuación, podemos sumar y restar [matemáticas] \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} [/ matemáticas] para dar

[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

Ahora tenemos un bonito cuadrado, que podemos factorizar.

[matemáticas] (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2+ \ frac {c} {a} – \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

Reorganizar da

[matemáticas] (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac {c} {a} [/ matemáticas]

En este punto, podríamos seguir resolviendo para x (y derivar la fórmula cuadrática) pero para responder a esta pregunta, no necesitamos hacerlo.

Solo necesitamos aplicar el argumento de que para proceder, y por lo tanto para encontrar dos soluciones reales explícitamente, el lado derecho debe ser positivo. Si es negativo, obtenemos una raíz compleja. Si es cero, entonces solo encontramos una solución única (repetida).

Nuestra condición para dos raíces reales es

[matemáticas] \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac {c} {a}> 0 [/ matemáticas]

O para hacer que las cosas se vean un poco más agradables multiplicando por [matemáticas] 4 [/ matemáticas] [matemáticas] a ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 – 4ac> 0 [/ matemáticas]

Esto es exactamente lo que queremos verificar si es cierto al determinar el número de ceros reales para una función cuadrática.

Answer 2

Suponiendo que [math] a, \, b, \, c \ in \ mathbb {R} [/ math]

Creo que este es el símbolo correcto, pero deja que [math] \ nabla = b ^ 2-4ac [/ math]. Entonces:

Si [math] \ nabla <0 [/ math], entonces [math] 2 [/ math] conjuga ceros no reales.

Si [math] \ nabla = 0 [/ math], entonces [math] 1 [/ math] raíz real repetida.

Si [math] \ nabla> 0 [/ math], entonces [math] 2 [/ math] raíces reales.

Answer 3

1. y = ax ^ 2 + bx + c (dado que)
2. ax ^ 2 + bx + cy = 0 (reorganizar la ecuación dada)
3. dos cero reales significa
4. caso 1: cero real e igual
5. caso 2: cero real y distinto
6. para el caso 1:
7. D = b ^ 2 -4a (cy) = 0
8. b ^ 2 = 4ac -4ay
9. caso 2:
10. D = b ^ 2 -4a (cy)> = 0
11. b ^ 2> = 4a (cy)
12. aquí D tiene el significado habitual

Answer 4

Suponiendo que a, b, c son reales, entonces

los ceros de y serán reales y distintos si

[matemáticas] D = b ^ 2–4ac> 0 [/ matemáticas]

porque el cuadrático se puede reorganizar como

4a y = (2 ax + b) ^ 2 – D

Answer 5

Una prueba simple, para verificar los tipos de raíz, tendrá una ecuación cuadrática en el formato anterior:

1. Calcular (b ^ 2-4 * a * c)
2. Si la expresión anterior es positiva, ambas raíces son reales.
3. Si la expresión anterior es negativa, ambas raíces son números imaginarios que también son conjugados complejos (de la forma m + ni y m-ni)

PD: ¿Tiene alguna pregunta matemática y no tiene ganas de esperar una respuesta? Google es tu mejor amigo.

Answer 6

b²-4ac≥0

Answer 7

bueno, si b ^ 2> 4 * a * c, entonces hay al menos 2 ceros reales