¿Es posible derivar la primera ecuación de Friedmann usando la gravedad de Newton en lugar de las ecuaciones de campo de Einstein?

Para hacer esto, primero debemos considerar un medio de densidad que se expande uniformemente [math] \ rho [/ math], y suponemos que se aplicará el principio cosmológico; es decir, el universo es homogéneo e isotrópico. Por lo tanto, podemos suponer que cualquier punto del universo es su centro. Sin embargo, no hay centro de expansión; Todos los puntos se alejan unos de otros.

Si tomamos una partícula de masa [matemática] m [/ matemática] y en un radio [matemática] r [/ matemática] desde un punto central, la partícula solo sentirá una fuerza gravitacional neta de la materia que la atrae desde adentro el radio [matemáticas] r [/ matemáticas] (esto proviene de la teoría de la gravedad de Newton). [math] M [/ math] denotará la materia que es interna a [math] m [/ math].

La energía potencial de la partícula será:

[matemáticas] V = \ frac {-GMm} {r} = \ frac {-4 \ pi G \ rho r ^ 2m} {3} [/ matemáticas]

Y su energía cinética es:

[matemáticas] K = \ frac {1} {2} m \ dot r ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la energía total de la partícula, [matemática] U [/ matemática], es simplemente:

[matemáticas] U = K + V [/ matemáticas]

Luego, al sustituir en nuestras ecuaciones por [matemáticas] K [/ matemáticas] y [matemáticas] V [/ matemáticas], vemos que:

[matemáticas] U = \ frac {1} {2} m \ dot r ^ 2 – \ frac {4 \ pi} {3} G \ rho r ^ 2 m [/ matemáticas]

Por lo tanto, tenemos una ecuación que relaciona [matemática] \ dot r [/ matemática] con [matemática] r [/ matemática], es decir, nos da la evolución temporal de la partícula con el punto elegido como centro.

Ahora debemos darnos cuenta de que debido a que el universo es homogéneo, esta ecuación debe aplicarse a cualquiera de las dos partículas separadas por una distancia. Como dijimos, todos los puntos se están expandiendo entre sí, por lo tanto, podemos elegir nuestro origen para que sea una partícula, en lugar de un punto especial en el universo.

Para tener en cuenta la expansión, debemos usar un conjunto diferente de coordenadas llamadas coordenadas comoving ; pueden considerarse como coordenadas que son transportadas por la expansión. Entonces escribimos:

[math] \ mathbf {r} = a (t) \ mathbf {x} [/ math]

Donde [math] \ mathbf {r} [/ math] es la distancia real del vector, [math] \ mathbf {x} [/ math] es la distancia del vector comoving, y [math] a (t) [/ math] es El factor de escala en función del tiempo.

Si colocamos objetos en diferentes posiciones en esta cuadrícula, la distancia real, [math] \ mathbf {r} [/ math], aumenta, pero la distancia comoving, [math] \ mathbf {x} [/ math], permanece constante : no cambia

Por lo tanto, si sabemos que [math] \ mathbf {\ dot x} = 0 [/ math], podemos reescribir la ecuación que encontramos para [math] U [/ math] como:

[matemáticas] U = \ frac {1} {2} m \ dot a ^ 2x ^ 2- \ frac {4 \ pi} {3} G \ rho a ^ 2x ^ 2m [/ matemáticas]

Si multiplicamos cada término en esta ecuación por [math] \ frac {2} {ma ^ 2x ^ 2} [/ math] y definimos [math] kc ^ 2 = – \ frac {2U} {mx ^ 2} [/ matemáticas], luego con un poco de reorganización, llegamos a:

[matemáticas] \ left (\ frac {\ dot a} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho – \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} [/ matemáticas]

Cuál es la ecuación de Friedmann.

¡Pero espera! ¿No debería haber un término cosmológico constante también?

Estrictamente hablando, debería; pero no puede obtener este término solo de la gravedad newtoniana. Es una consecuencia de la relatividad general. La verdadera forma de la ecuación de Friedmann es:

[matemáticas] \ left (\ frac {\ dot a} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho – \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ Lambda} {3} [/ math]

Como puede ver, solo podemos llegar a la ecuación final de Friedmann usando Newtonian Gravity, pero todavía creo que es una derivación bastante agradable. El término [math] k [/ math] define la geometría del universo y determina su evolución a largo plazo.

Fred dio una excelente respuesta: agregaré que Edward Milne y William Mc Crea obtuvieron el mismo resultado por primera vez en 1934. A algunas personas les resulta inquietante que la ecuación de Friedmann pueda derivarse de principios de energía newtonianos simples, pero a mi modo de pensar, revela esa energía está en la base de GR, si el formalismo espacio-tiempo puede transformarse en un formalismo energético en un caso, es probable que la energía sea la causa de todos los efectos relativistas.

Con respecto a la constante cosmológica A , se hipotetizó después de que se completó GR, no se deriva de ella, pero dado que tiene que neutralizar la gravedad, todo lo que hay que hacer es escribir la fuerza gravitacional en términos de la densidad p y equipararla a A r / 3

-GM / r ^ 2 = – [4 (pi) G p r] / 3 = A r / 3

entonces para que la fuerza total sea cero,

A = 4 (pi) G p = 3 H ^ 2