Para hacer esto, primero debemos considerar un medio de densidad que se expande uniformemente [math] \ rho [/ math], y suponemos que se aplicará el principio cosmológico; es decir, el universo es homogéneo e isotrópico. Por lo tanto, podemos suponer que cualquier punto del universo es su centro. Sin embargo, no hay centro de expansión; Todos los puntos se alejan unos de otros.
Si tomamos una partícula de masa [matemática] m [/ matemática] y en un radio [matemática] r [/ matemática] desde un punto central, la partícula solo sentirá una fuerza gravitacional neta de la materia que la atrae desde adentro el radio [matemáticas] r [/ matemáticas] (esto proviene de la teoría de la gravedad de Newton). [math] M [/ math] denotará la materia que es interna a [math] m [/ math].
La energía potencial de la partícula será:
[matemáticas] V = \ frac {-GMm} {r} = \ frac {-4 \ pi G \ rho r ^ 2m} {3} [/ matemáticas]
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Y su energía cinética es:
[matemáticas] K = \ frac {1} {2} m \ dot r ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, la energía total de la partícula, [matemática] U [/ matemática], es simplemente:
[matemáticas] U = K + V [/ matemáticas]
Luego, al sustituir en nuestras ecuaciones por [matemáticas] K [/ matemáticas] y [matemáticas] V [/ matemáticas], vemos que:
[matemáticas] U = \ frac {1} {2} m \ dot r ^ 2 – \ frac {4 \ pi} {3} G \ rho r ^ 2 m [/ matemáticas]
Por lo tanto, tenemos una ecuación que relaciona [matemática] \ dot r [/ matemática] con [matemática] r [/ matemática], es decir, nos da la evolución temporal de la partícula con el punto elegido como centro.
Ahora debemos darnos cuenta de que debido a que el universo es homogéneo, esta ecuación debe aplicarse a cualquiera de las dos partículas separadas por una distancia. Como dijimos, todos los puntos se están expandiendo entre sí, por lo tanto, podemos elegir nuestro origen para que sea una partícula, en lugar de un punto especial en el universo.
Para tener en cuenta la expansión, debemos usar un conjunto diferente de coordenadas llamadas coordenadas comoving ; pueden considerarse como coordenadas que son transportadas por la expansión. Entonces escribimos:
[math] \ mathbf {r} = a (t) \ mathbf {x} [/ math]
Donde [math] \ mathbf {r} [/ math] es la distancia real del vector, [math] \ mathbf {x} [/ math] es la distancia del vector comoving, y [math] a (t) [/ math] es El factor de escala en función del tiempo.
Si colocamos objetos en diferentes posiciones en esta cuadrícula, la distancia real, [math] \ mathbf {r} [/ math], aumenta, pero la distancia comoving, [math] \ mathbf {x} [/ math], permanece constante : no cambia
Por lo tanto, si sabemos que [math] \ mathbf {\ dot x} = 0 [/ math], podemos reescribir la ecuación que encontramos para [math] U [/ math] como:
[matemáticas] U = \ frac {1} {2} m \ dot a ^ 2x ^ 2- \ frac {4 \ pi} {3} G \ rho a ^ 2x ^ 2m [/ matemáticas]
Si multiplicamos cada término en esta ecuación por [math] \ frac {2} {ma ^ 2x ^ 2} [/ math] y definimos [math] kc ^ 2 = – \ frac {2U} {mx ^ 2} [/ matemáticas], luego con un poco de reorganización, llegamos a:
[matemáticas] \ left (\ frac {\ dot a} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho – \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} [/ matemáticas]
Cuál es la ecuación de Friedmann.
¡Pero espera! ¿No debería haber un término cosmológico constante también?
Estrictamente hablando, debería; pero no puede obtener este término solo de la gravedad newtoniana. Es una consecuencia de la relatividad general. La verdadera forma de la ecuación de Friedmann es:
[matemáticas] \ left (\ frac {\ dot a} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho – \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ Lambda} {3} [/ math]
Como puede ver, solo podemos llegar a la ecuación final de Friedmann usando Newtonian Gravity, pero todavía creo que es una derivación bastante agradable. El término [math] k [/ math] define la geometría del universo y determina su evolución a largo plazo.