Cómo expresar la siguiente ecuación como una función parcial {x / (x-1) (x ^ 2 + 4)}

Deje [math] T = \ dfrac {x} {\ left (x – 1 \ right) \ left (x ^ 2 + 4 \ right)} [/ math].

Nota: esta es una expresión , no una ecuación. Supuse que el factor [math] \ left (x ^ 2 + 4 \ right) [/ math] está destinado a estar en el denominador de la expresión: realmente necesitas un conjunto adicional de corchetes para aclararlo “{X / ((x-1) (x ^ 2 + 4))}” de lo contrario, lo que escribió podría interpretarse como [matemáticas] \ frac {x} {x-1} \ left (x ^ 2 + 4 \ derecha) [/ math] que es bastante diferente. La frase “función parcial” no significa nada para mí, así que supongo que usted quiso decir ” fracciones parciales ” ya que una descomposición de fracción parcial es un método común y útil para aplicar a expresiones como esta.

Escribamos [matemáticas] T = \ dfrac {a} {x – 1} + \ dfrac {bx + c} {x ^ 2 + 4} [/ matemáticas] y resolvamos para [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ begin {align} \ frac {a} {x – 1} + \ frac {bx + c} {x ^ 2 + 4} & = \ frac {a \ left (x ^ 2 + 4 \ right) + \ left (bx + c \ right) \ left (x – 1 \ right)} {\ left (x – 1 \ right) \ left (x ^ 2 + 4 \ right)} \\ & = \ frac {\ left (a + b \ right) x ^ 2 + \ left (c – b \ right) x + 4a – c} {\ left (x – 1 \ right) \ left (x ^ 2 + 4 \ right)} = T \ end {align} [/ math]

Por lo tanto, necesitamos [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] \ left (a + b \ right) x ^ 2 + \ left (c – b \ right) x + 4a – c = x [ /matemáticas].

Comparando coeficientes de [matemática] x ^ 2 [/ matemática] obtenemos: [matemática] \ left (a + b \ right) = 0 \ tag {1} [/ math]

Comparando coeficientes de [matemática] x [/ matemática] obtenemos: [matemática] \ left (c – b \ right) = 1 \ tag {2} [/ math]

Comparando términos constantes obtenemos: [matemáticas] 4a – c = 0 \ tag {3} [/ matemáticas]

Sumando (1), (2) y (3) obtenemos: [matemática] 5a = 1 \ \ por lo tanto a = \ frac {1} {5} [/ matemática]

Sustituyendo en (1) obtenemos: [matemáticas] b = – \ frac {1} {5} [/ matemáticas]

Sustituyendo en (2) o (3) obtenemos: [matemáticas] c = \ frac {4} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto T = \ boxed {\ dfrac {1} {5 \ left (x – 1 \ right)} + \ dfrac {4 – x} {5 \ left (x ^ 2 + 4 \ right)}} [/matemáticas]

Es una expresión, no una ecuación. Además, la forma en que lo escribió es ambiguo sobre dónde está el factor x ^ 2 + 4: arriba o abajo. (Solo el contexto y la familiaridad con el tema nos permite saber que se refería al fondo).

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