En primer lugar, debes saber cómo derivar las ecuaciones de Schrödinger. Aquí se explica cómo derivar la ecuación:
Por conveniencia y simplicidad solo haremos uso de una dimensión.
[matemáticas] \ frac {\ partial ^ 2E} {\ partial ^ 2x} – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2E /} {\ partial ^ 2t} = 0 [/ matemáticas]
Solución de onda plana:
[matemáticas] E (x, t) = E0e ^ {i (kx-wt)} [/ matemáticas]
Donde k = 2π / λ yw = 2πv son las frecuencias transitorias, respectivamente, que deben cumplir la relación de dispersión obtenida en la sustitución de las ecuaciones anteriores.
[matemáticas] (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial ^ 2x} – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial ^ 2t}) E0e ^ i (kx- wt) = 0. [/matemáticas]
[matemáticas] (- k ^ 2 + \ frac {w ^ 2} {c ^ 2}) E0e ^ {{i (kx-wt)}} = 0 [/ matemáticas]
Calculando el vector de onda, llegamos a la relación de dispersión de la luz en el vacío:
[matemáticas] k = \ frac {w} {c} [/ matemáticas] o [matemáticas] vλ = c [/ matemáticas]
Donde c es la velocidad de propagación de la onda de la luz en el vacío. Estas soluciones representan ondas electromagnéticas clásicas, que sabemos que de alguna manera están interconectadas con los fotones de la teoría cuántica. Recuerde de Einstein y Compton que la energía de un fotón es E = hv = hw y que el impulso de un fotón es p = h / λ = hk. Podemos reescribir la ecuación 2 usando estas relaciones:
[matemáticas] E (x, t) = E0e ^ \ frac {i} {\ hbar} (px- \ varepsilon [/ matemáticas] [matemáticas] t) [/ matemáticas]
Sustituyendo esto en la ecuación 1, encontramos que:
[matemáticas] (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial ^ 2x} – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial ^ 2t}) E0e ^ {\ frac { i} {\ hbar} (px- \ varepsilon t)} = 0 [/ math]
[matemáticas] – \ frac {1} {\ hbar ^ 2} (p ^ 2- \ frac {\ varepsilon} {c ^ 2}) E0e ^ {\ frac {i} {\ hbar} (px- \ varepsilon t )} = 0 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ varepsilon ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2 [/ matemáticas].
Esta es solo la energía total relativista,
[matemáticas] \ varepsilon = p ^ 2 c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 [/ matemáticas],
para una partícula con masa en reposo cero, lo cual es tranquilizador ya que la luz está hecha de fotones, y los fotones viajan a la velocidad de la luz en el vacío, lo cual solo es posible para partículas de masa en reposo cero.
Ahora asumimos con De Broglie que la frecuencia y la energía, y la longitud de onda y el momento, están relacionados de la misma manera para las partículas clásicas que para los fotones, y consideramos una ecuación de onda para partículas de masa en reposo distintas de cero. Eso significa que queremos terminar con [matemáticas] \ varepsilon ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 [/ matemáticas] en lugar de solo [matemáticas] \ varepsilon ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2 [/ matemáticas]. Como ya no tratamos con un campo eléctrico, le damos a la solución de nuestra ecuación de onda un nuevo nombre, digamos, [math] \ Psi [/ math], y simplemente la llamamos la función de onda. Al hacerlo, hemos explotado que la ecuación n. ° 8 es homogénea y, por lo tanto, las unidades de la función operada son arbitrarias. En lugar de la ecuación n. ° 9, ahora nos gustaría:
[matemáticas] – \ frac {1} {\ hbar ^ 2} (p ^ 2 – \ frac {\ varepsilon ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2 c ^ 2) \ Psi e ^ {\ frac {i } {\ hbar} (px- \ varepsilon t)} = 0 [/ math],
que podemos obtener de:
[matemáticas] (\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial ^ 2 x} – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial ^ 2 t} – \ frac {m ^ 2 c ^ 2} {\ hbar ^ 2}) \ Psi e ^ {\ frac {i} {\ hbar} (px- \ varepsilon t)} = 0 [/ math]
En la discusión de la luz como una onda o una colección de fotones, resulta que el cuadrado del campo eléctrico es proporcional al número de fotones. Por analogía, exigimos que nuestra función de onda,
[matemáticas] \ Psi (x, t) = \ Psi0e ^ {\ frac {i} {\ hbar} (px- \ varepsilon t)} [/ matemáticas],
ser normalizado a la unidad de probabilidad. Entonces, la probabilidad de que la partícula se encuentre en algún lugar del espacio,
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ Psi * \ Psi dx = 1 [/ matemáticas],
como debería ser.
Eliminando la restricción a una dimensión y reorganizando, reconocemos esto como la ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre,
[matemáticas] \ nabla ^ 2 \ Psi- \ frac {m ^ 2 c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ Psi = \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} { \ parcial ^ 2 t} [/ matemáticas].
La ecuación de Klein-Gordon es una ecuación relativista, la ecuación de Schrödinger no lo es. Entonces, para llegar finalmente a la ecuación de Schrödinger, debemos hacer la suposición necesaria para establecer una ecuación no relativista
El primer paso para considerar el caso no relativista es aproximar [matemáticas] \ varepsilon ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 [/ matemáticas] de la siguiente manera:
[matemáticas] \ varepsilon = mc ^ 2 \ sqrt {1+ \ frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2}} [/ matemáticas],
[matemáticas] \ aprox mc ^ 2 (1+ \ frac {1} {2} \ frac {p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2}) [/ matemáticas],
[matemáticas] \ aprox mc ^ 2 + \ frac {p ^ 2} {2m} = mc ^ 2 + \ tau [/ matemáticas].
Reconocemos este último término como la energía cinética clásica, [math] \ tau [/ math]. Entonces podemos reescribir la ecuación de onda, la ecuación no.14 como:
[matemáticas] \ Psi (x, t) = \ Psi 0e ^ {\ frac {i} {\ hbar} (px-mc ^ 2 t- \ tau t))} [/ matemáticas],
[matemáticas] = e ^ {- \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ Psi [/ matemáticas] [matemáticas] 0e ^ {\ frac {i} {\ hbar} (px- \ tau t)} [/matemáticas]
Asumimos que la velocidad de la partícula es lo suficientemente pequeña como para que [math] mu \ ll mc [/ math], lo que implica que [math] p ^ 2 \ ll m ^ 2 c ^ 2 [/ math]. Esto significa que el término principal en la ecuación 21, exp ([math] -imc ^ 2 t / \ hbar [/ math]), oscilará mucho más rápido que el último término, exp ([math] i \ tau t / \ hbar [/matemáticas]). Aprovechando esto podemos escribir:
[matemáticas] \ Psi = e ^ {- \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2 t} \ phi [/ matemáticas],
Dónde:
[matemáticas] \ phi = \ Psi_0e ^ {\ frac {i} {\ hbar} (px- \ tau t)} [/ matemáticas].
Entonces,
[matemáticas] \ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t} = – \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2 e ^ {- \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2 t} \ phi + e ^ {\ frac {-i} {\ hbar} mc ^ 2 t} \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t} [/ math]
[matemáticas] \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} = (- \ frac {m ^ 2 c ^ 4} {\ hbar ^ 2} e ^ {- \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2 t} \ phi – \ frac {2i} {\ hbar} mc ^ 2 e ^ – \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2 t \ frac {\ partial \ phi} {\ partial t }) + e ^ {- \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2 t} \ frac {\ partial ^ 2 \ phi} {\ partial t ^ 2} [/ math].
El primer término entre paréntesis es grande y el último término es pequeño.
