Una forma de encontrar soluciones simples a las ecuaciones de campo de Einstein es asumiendo un alto grado de simetría.
La solución de Schwarzschild es así. Es una solución de vacío estática (que no cambia con el tiempo), esféricamente simétrica. Esto nos dice que la métrica se puede escribir en forma diagonal, y que en coordenadas espaciales esféricas, depende solo de la coordenada radial. En resumen, usando las coordenadas [matemáticas] [t, r, \ theta, \ phi] [/ matemáticas] podemos escribir la métrica como
[matemáticas] \ begin {align *} g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} A (r) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -B (r) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r ^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {pmatrix} \ end {align *}. \ tag * {} [/ math]
Es un poco tedioso, pero no es terriblemente difícil calcular los dos primeros términos diagonales del tensor de Einstein a partir de la métrica:
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- ¿Por qué 2cos4xcos2x = cos6x + cos2x?
- ¿Cuáles son los pasos para graficar ecuaciones cuadráticas?
- Dado que [matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x + 17} + \ sqrt {2017x ^ 2 + 4034x – 3} = 10 [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de [matemáticas] x ^ 2 + 2x [/matemáticas]?
- Cómo usar la ecuación cuadrática
[matemáticas] \ begin {align *} G_ {tt} & = \ dfrac {A (B_rr + B ^ 2-B)} {B ^ 2r ^ 2}, \\ G_ {rr} & = \ dfrac {A_rr- AB + A} {Ar ^ 2}, \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
donde usé la taquigrafía [matemáticas] A_r = dA / dr [/ matemáticas].
Y esto es realmente todo lo que necesitamos. Como la solución es una solución de vacío, los términos en el tensor de Einstein deben ser todos cero. Y solo tenemos dos funciones desconocidas, para las cuales ahora tenemos dos ecuaciones diferenciales de primer orden extraídas de lo anterior:
[matemáticas] \ begin {align *} B_rr + B ^ 2-B & = 0, \\ A_rr-AB + A & = 0. \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
La primera ecuación se puede resolver fácilmente reorganizando e integrando, por lo que obtenemos
[matemáticas] B = \ dfrac {r} {r-C_1}, \ tag * {} [/ matemáticas]
donde [math] C_1 [/ math] es una constante de integración. Sustituyendo esto en la segunda ecuación, podemos resolver eso para [matemáticas] A [/ matemáticas]:
[matemáticas] A = C_2 \ dfrac {r-C_1} {r}, \ tag * {} [/ matemáticas]
donde [math] C_2 [/ math] es otra constante de integración.
El valor de [matemática] C_1 [/ matemática] se determina comparando la métrica con la aproximación de campo débil: [matemática] C_1 = 2GM / c ^ 2 [/ matemática] para que coincida con el campo gravitacional de una masa [matemática] M [ / math] ([math] G [/ math] es la constante de Newton, [math] c [/ math] es la velocidad de la luz). Y [math] C_2 [/ math] se determina si queremos asegurarnos de que lejos del centro, recuperamos la métrica de Minkowski: [matemáticas] C_2 = c ^ 2 [/ matemáticas]. Entonces, tenemos:
[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} c ^ 2- \ dfrac {2GM} {r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ dfrac {2GM} {c ^ 2r} -1 y 0 y 0 \\ 0 & 0 & -r ^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {pmatrix}. \ Tag * {} [/ math]
Y esa es la solución de Schwarzschild.
También existen otras soluciones simples (aunque no tan simples). De hecho, existen numerosos métodos que se utilizan para generar soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho, tengo un libro bastante grueso en mi estante, Soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein de Stephani et al. (Cambridge, 2003), dedicado a este tema.