¿Se puede reformular cada problema de álgebra en un problema de geometría / topología?

Answer 1

Si crees en la dualidad entre álgebra y geometría, entonces la respuesta debe ser un rotundo sí.

Un “problema de álgebra” podría interpretarse como tal: si me da una categoría de objetos algebraicos permisibles y un par de “categorías de diagrama” que están relacionadas por algún functor que codifica cómo deben interactuar las partes del diagrama (la forma prescrita de el problema), así como un functor de una categoría de diagrama a la categoría de objetos algebraicos, entonces una solución sería un levantamiento o una extensión (dependiendo del “functor de formulario” entre las categorías de diagrama) de los datos iniciales. Estas ideas probablemente se pueden generalizar un poco para permitir tratamientos más robustos de la idea de un problema algebraico. Todo lo que realmente importa es que todo esto está sucediendo en el lenguaje de las categorías.

Una vez que se elige la configuración, puede traducir cada problema algebraico en un problema geométrico al dualizar la categoría algebraica y las categorías del diagrama. Obtiene un problema totalmente nuevo que es inherentemente geométrico (nuevamente, suponiendo que cree que lo opuesto a una categoría “algebraica” siempre se puede llamar “geométrico”).

Un buen ejemplo sería si me dieras el homomorfismo grupal discreto [matemática] 2 \ veces: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} [/ math] y luego me pides que encuentre un número entero [math] n [/ matemática] tal que [matemática] 2 \ veces n = 6 [/ matemática]. Si se dualiza la categoría de grupos abelianos, los enteros se convierten en el grupo circular, y el homomorfismo anterior se convierte en el homomorfismo continuo que duplica un ángulo en el grupo circular. Esto se convierte en el problema de encontrar un “devanado uniformemente espaciado” del círculo alrededor de sí mismo de tal manera que enrollar un bucle doble de esta manera produzca un bucle de seis capas. No existe necesariamente un método único, ni preferido, para traducir los problemas algebraicos en problemas geométricos. Puede haber muchas configuraciones geométricas equivalentes que dualizan el problema con el que queremos trabajar.

Si no está de acuerdo con la suposición de que todas las categorías algebraicas se dualizan en geométricas o su definición de problemas algebraicos no se ajusta a este marco, entonces no sé si el álgebra siempre tiene una representación geométrica. Estos términos son realmente nebulosos, por lo que es difícil hablar de ellos de manera significativa.

Answer 2

Esta respuesta está muy en línea con la respuesta de Jake Chateau, pero espero que sea lo suficientemente diferente como para ser útil y no redundante.

La respuesta es sí, incluso un rotundo sí, como dice Jake, pero hay una nota al pie: el problema de geometría / topología que corresponde a un problema de álgebra dado podría no parecerse mucho a la geometría / topología. Déjame acompañarte un poquito de madriguera de conejo. Esto es a lo que Jake se refiere como la dualidad entre álgebra y geometría. Trataré de hacerlo sin usar ninguna de las palabras del vocabulario de la teoría de categorías … sin functores, sin diagramas conmutativos, etc. Haré todo lo posible para que esto sea legible (quizás solo vagamente) para alguien con solo una base básica en álgebra y cálculo abstractos, aunque no estoy seguro de tener éxito.

Considere un espacio geométrico simple, como la línea real. (Si no está satisfecho con la simplicidad de la línea real, puede sustituir un plano. No importa si lo considera el plano complejo o el plano real). Puede considerar el conjunto de todas las funciones continuas en el línea real Solo para apuntalar algunos tecnicismos, digamos que nos limitaremos a las funciones que “desaparecen en el infinito”, es decir, [math] \ lim_ {x \ to \ pm \ infty} = 0 [/ math]. Denotaré este conjunto por [math] C_0 (\ mathbb {R}) [/ math]. (El guión bajo “0” denota la desaparición en el infinito).

Puede no sorprender que [math] C (\ mathbb {R}) [/ math] tenga mucha estructura algebraica. Como mínimo, puede agregar y multiplicar funciones continuas: si [math] f [/ math] y [math] g [/ math] se desvanecen en el infinito y son continuas, también lo es [math] f + g [/ math] y [matemáticas] fg [/ matemáticas]. No pasaré por todas las otras propiedades algebraicas, pero cortando al grano, esta cosa se llama álgebra [matemática] C ^ * [/ matemática]. Es una conmutativa [matemática] C ^ * [/ matemática] -álgebra, porque [matemática] fg = gf [/ matemática].

¿A quien le importa? Tome esto en dos pasos: primero, resulta que toda la información topológica / geométrica de [math] \ mathbb {R} [/ math] está codificada en las propiedades algebraicas de [math] C_0 (\ mathbb {R}) [ /matemáticas]. Por ejemplo, los puntos de [math] \ mathbb {R} [/ math] corresponden exactamente a los ideales máximos de [math] C_0 (\ mathbb {R}) [/ math].

OK eso está bien. Pero lo que quizás sea un poco sorprendente es el segundo paso: que puedes ir hacia otro lado. Si toma cualquier álgebra acumulativa [matemática] C ^ * [/ matemática], puede recuperar un espacio topológico [matemático] X [/ matemático] para que el álgebra conmutativa [matemática] C ^ * [/ matemático] sea solo [matemáticas] C_0 (X) [/ matemáticas]. Además, el espacio [matemáticas] X [/ matemáticas] tiene algunas propiedades agradables. (Es localmente compacto y Hausdorff, si esas palabras significan algo para usted. Si no, no hay problema).

Este es un ejemplo de lo que Jake llamó “dualidad”. En particular, las álgebras conmutativas [matemáticas] C ^ * [/ matemáticas] son ​​”dobles” a espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos. Eso significa que hay una maquinaria para traducir instantáneamente un problema de álgebra sobre [matemáticas] C ^ * [/ matemáticas] -álgebras en un problema de topología sobre un espacio de Hausdorff localmente compacto, y viceversa.

Puedes ir un poco más lejos. Con esta dualidad en mente, puede usar la analogía para extender esas ideas incluso más allá de lo que la dualidad literalmente lo atrapa. En este contexto, puede tomar problemas sobre álgebras no conmutativas [matemáticas] C ^ * [/ matemáticas] y pretender que son problemas de topología. Esta nueva área de topología se llama “topología no conmutativa”.

Esta es la nota al pie de página a la que me referí en mi primer párrafo. Cuando estás haciendo la extensión, cuando estás haciendo una topología no conmutativa, no hay un espacio topológico subyacente. Puede configurar el vocabulario como si lo hubiera. (Por ejemplo, podría llamar ideales máximos de “puntos” no necesariamente conmutativos [matemáticos] C ^ * [/ matemáticos], basados ​​en la dualidad en el caso conmutativo). Pero entonces pueden suceder cosas extrañas: por ejemplo, puede obtener distintos “espacios topológicos no conmutativos” que cada uno solo tiene un punto.

Con tal estado de cosas, uno podría preguntarse razonablemente si todavía está haciendo topología o si solo está haciendo álgebra con vocabulario inspirado en la topología.

Esa es una crítica justa. Pero, no obstante, los paralelos que ofrece la “dualidad” a menudo son fructíferos. Y abundan los ejemplos. Solo para nombrar otro grande, puede hacer lo mismo que hice anteriormente con un anillo conmutativo [matemático] R [/ matemático] que no tiene elementos nulos (cualquiera que sean …). Esos anillos son duales a los objetos geométricos llamados variedades algebraicas. Entonces, ¿qué pasa con los anillos conmutativos con elementos nilpotentes? Puedes pensar en ellos como tipos de variedades algebraicas duales a extrañas. ¿O anillos no conmutativos? Mismo.

Una vez más, aceptar estas dualidades hace que su intuición geométrica / topológica se estire hasta el punto en que la geometría / topología se vuelva irreconocible. Pero a menudo es útil de todos modos.

Answer 3

A menudo no, al menos no en el sentido habitual. Reto a las personas a reformular los teoremas de Sylow en un lenguaje geométrico.

Sin embargo, es cierto que muchas preguntas algebraicas básicas (ecuaciones lineales, ¿alguien?) Pueden reformularse geométricamente.

Answer 4

Muchos pueden No estoy seguro de que haya una prueba que demuestre que cualquier posible problema de álgebra se puede convertir de esa manera, pero muchos problemas importantes se pueden replantear mediante topología o geometría (y viceversa).