¿Cómo podemos demostrar que una esfera es compacta?

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¿Cómo podemos demostrar que una esfera es compacta?

No sé qué pregunta respondió Brien Anderson, pero parece no tener nada que ver con la compacidad. Con la métrica habitual, la esfera está cerrada y acotada, y también un espacio métrico completo. Eso implica que es compacto.

Una prueba directa es la siguiente. Supongamos que hemos cubierto la esfera con una familia infinita, O, de conjuntos abiertos. Piense en la esfera como la Tierra con líneas de latitud. Hay un miembro de O que cubre el polo norte y también cubre alguna línea de latitud. Supongamos que hay una línea de latitud tal que la esfera al norte de esa línea tiene una subcubierta finita. Debido a que esa línea tiene una subcubierta finita (la versión unidimensional de la pregunta) hay una subcubierta finita de la parte de la esfera al norte de una línea de latitud más cercana al polo sur que la parte que asumimos que tiene una subcubierta. Entonces, si suponemos que hay una latitud más al sur de tal manera que la esfera tiene una subcubierta finita de O, esto contradice eso.