¿Cómo se determina el área de un triángulo equilátero?

El área A para cualquier triángulo viene dada por la fórmula A = (1/2) (base, b) (altura, h); sin embargo, para el caso especial del triángulo equilátero, es posible que solo conozca la longitud “s” para cada uno de los tres lados iguales y no la altura “h” del triángulo, y aún se le puede pedir que encuentre el área: “¿Entonces que?”

Sabemos que independientemente de qué lado de un triángulo equilátero se considere la base, tiene la misma longitud b = “s”. Entonces, todo lo que necesitamos ahora para encontrar el área A de un triángulo equilátero es su altura “h”.

Sabemos que un triángulo equilátero también es equiangular, es decir, cada uno de sus tres ángulos es congruente y, por lo tanto, los tres ángulos tienen la misma medida, es decir, cada ángulo tiene una medida de 60 ° (180 ° / 3 = 60 °) . Además, la altitud construida a partir de cualquiera de los tres vértices de un triángulo equilátero al lado opuesto es también la bisectriz perpendicular del lado opuesto y la bisectriz angular del ángulo del vértice desde el cual se originó la altitud y, en consecuencia, divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos congruentes de 30 ° – 60 °.

Ahora, considere un triángulo equilátero ABC, cada lado del cual tiene una longitud “s”, el lado BC es la base, y la altitud desde el vértice A hasta la base BC interseca BC en el punto D. Como una bisectriz angular del ángulo A y la bisectriz perpendicular de base BC en el punto D, la altitud AD divide △ ABC en dos triángulos rectángulos congruentes de 30 ° -60 ° con el punto D como el vértice de dos ángulos rectos adyacentes: ADB y ADC. Ahora, consideremos y analicemos △ ADB, que es uno de los dos triángulos rectángulos congruentes de 30 ° -60 ° formados por la altitud AD:

Sabemos por geometría plana que en un triángulo rectángulo de 30 ° -60 °, el lado BD, que es el lado opuesto al ángulo de 30˚, tiene una longitud igual a la mitad de la longitud “s” de la hipotenusa AB, es decir, (1 / 2) s = s / 2. Al mismo tiempo, el lado opuesto al ángulo de 60˚ es la altitud AD de longitud “h”, y “h” también es la altura del △ ABC equilátero. Para encontrar “h”, utilizamos el Teorema de Pitágoras de la siguiente manera:

C² = A² + B²

(longitud de la hipotenusa AB) ² = (longitud de la AD alternativa) ² + (longitud del lado BD) ²

s² = h² + (s / 2) ²

s² – (s / 2) ² = h² + (s / 2) ² – (s / 2) ²

s² – (s / 2) ² = h² + 0

h² = s² – (s / 2) ² (La igualdad es simétrica, es decir, si a = b, entonces b = a)

Ahora, tomando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:

h = ± √ [s² – (s / 2) ²]

Como físicamente no podemos tener una longitud negativa, definimos “h” como la raíz cuadrada positiva y resolvemos “h” de la siguiente manera:

h = √ [s² – (s / 2) ²]

= √ [s² – (s² / 4)]

= √ [(4s² / 4) – (s² / 4)]

= √ (3s² / 4)

= √ (3s²) / √4

= [(√3) (√s²)] / √4

h = (s√3) / 2 es la altura de un triángulo equilátero en términos de longitud
“S” de uno de sus lados.

Como ya sabemos que la longitud “b” de la base BC del equilátero △ ABC es igual a “s”, es decir, b = s, entonces el área UNA del triángulo equilátero ABC se encuentra de la siguiente manera:

A = (1/2) bh

= (1/2) (s) [(s√3) / 2]

= [(s) (s√3)] [(1/2) (1/2)] La multiplicación es asociativa, es decir, (ab) c = a (bc)

= (s²√3) (1/4)

A = (s²√3) / 4 es la fórmula para encontrar el área de un equilátero
triángulo en términos de la longitud “s” de uno de sus lados.

Probablemente te refieres a ‘área’. La fórmula para el área de un triángulo equilátero es la misma que para cualquier triángulo: [matemática] A = \ frac {1} {2} bh [/ matemática], donde [matemática] b [/ matemática] es la longitud de cualquier lado y [matemáticas] h [/ matemáticas] es la distancia desde ese lado a la esquina que no es un punto final de ese lado, medido perpendicularmente al lado.

Pon dos triángulos idénticos juntos con uno girado al revés, para formar un paralelogramo. Su área es la de los dos triángulos, o [matemáticas] 2 (\ frac {1} {2} bh) = bh [/ matemáticas].

Ahora haga un lado perpendicular a sus lados adyacentes cortando una pieza triangular desde ese extremo. Ajusta el triángulo al extremo opuesto para formar un rectángulo. El área no ha cambiado, por lo que sigue siendo [matemática] bh [/ matemática], que reconocerá como la fórmula estándar para el área de cualquier rectángulo.

Retrocediendo nuestros pasos hacia atrás, puede ver cómo se relaciona el área de un triángulo con la de un rectángulo, y cómo la fórmula tiene sentido.

EDITAR: Volviendo específicamente a un triángulo equilátero, divide uno simétricamente en dos triángulos rectángulos idénticos. La hipotenusa es uno de los lados originales [matemática] b [/ matemática]. La pierna más corta es la mitad de uno de los lados originales, [matemática] b / 2 [/ matemática]. La pierna más larga es la altura [matemática] h [/ matemática] del triángulo original. Según el teorema de Pitágoras, [matemáticas] h ^ 2 + (b / 2) ^ 2 = b ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto

[matemáticas] h = \ sqrt {b ^ 2 – (b / 2) ^ 2} = \ sqrt {b ^ 2 – b ^ 2/4} = b \ sqrt {1- \ frac {1} {4}} = b \ sqrt {3/4} = \ frac {b} {2} \ sqrt {3} [/ math],

y

[matemáticas] A = \ frac {1} {2} bh = \ frac {b ^ 2} {4} \ sqrt {3} [/ matemáticas].

El triángulo equilátero es una figura bidimensional, mientras que solo las figuras cerradas no planas tridimensionales tienen volumen.

Ans – 0
Fórmula:
Volumen del triángulo equilátero = 0

Área = [matemáticas] \ boxed \ displaystyle \ frac {\ sqrt {3}} {4} a ^ 2 [/ math]
Donde a es la longitud del lado.

Deje que la longitud de los lados del triángulo equilátero sea [math] s [/ math] unidades.

Dibuja una perpendicular desde cualquier vértice hacia el lado opuesto y llama al lado opuesto la base.

La perpendicular divide el triángulo equilátero en dos triángulos [matemáticos] 30 ^ o-60 ^ o-90 ^ o [/ matemáticos] con los lados del triángulo equilátero como hipotenusa. El lado opuesto al ángulo [matemático] 60 ^ o [/ matemático] es la altura del triángulo equilátero.

Por la propiedad de [math] 30 ^ o-60 ^ o-90 ^ o [/ math] triángulos sabemos que la longitud del lado opuesto al ángulo [math] 60 ^ o [/ math] es igual a [math] \ frac {\ sqrt 3} {2} [/ math] veces la hipotenusa.

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La altura del triángulo equilátero [math] = \ frac {\ sqrt 3} {2} s. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] El área del triángulo equilátero [math] = \ frac {1} {2} [/ math] base [math] \ times [/ math] altura

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \, \, s \ times \ frac {\ sqrt 3} {2} s = \ frac {\ sqrt 3} {4} s ^ 2. [/ math]

Las figuras geométricas planas no tienen volumen. El volumen es una medida atribuida a objetos tridimensionales, es decir, una esfera, un cubo, etc.

Los triángulos y otras figuras planas tienen área y perímetro.

Usaría trigonometría.

La fórmula para el área de un triángulo es 1/2 * a * b * sinC donde C es el ángulo formado por a y b

si a = b como lo haría en un triángulo equilátero y C = 60 como lo hacen todos los ángulos en triángulos equiláteros, se puede representar como:

1/2 * x * x * sin60 = (x ^ 2) * 1/2 * 0.8660254 (sin60 redondeado a 7 decimales) que simplificaría aún más como x ^ 2 * 0.4220127

Que parámetros

Ejemplo: altura = [matemática] \ sqrt {3} m [/ matemática]

entonces área = [matemáticas] \ sqrt {3} m ^ 2 [/ matemáticas]

Usa trigonometría.

Usando la propiedad de triángulos equiláteros,

  • Todos los ángulos son 60 °
  • Todos los lados pueden ser representados por ‘s’
  • La perpendicular de cualquier vértice hará que el lado opuesto se distribuya en longitudes iguales a s / 2
  • Y la perpendicular crea la altura h, y dos triángulos de 30–60–90.

Usando tan (30 °) = o / a = 1 / √3 = s / s√3

Entonces, s√3 es la altura y s es la base.

Área A del triángulo = (base * altura) / 2

= (s * s * √3) / 2 = s² * (√3 / 2)

Los ángulos de un triángulo equilátero son todos sesenta grados

sin (60) = sqrt (3) / 2

Entonces, la altitud de un triángulo equilátero = lado * Sqrt (3) / 2

Área = lado * altitud / 2 = (lado) ^ 2 * Sqrt (3) / 2) / 4

si lado = 1 entonces área = Sqrt (3) / 2) / 4

Hay varias formas de determinar el área de un triángulo equilátero.

Fórmula directa: √3 / 4 * (lado) ^ 2

Usando la altura: 1/2 * altura base

= 1/2 * lado * √3 / 2 lado

Usando ángulo: 1/2 * lado * lado * cos 60 °

= 1/2 * √3 / 2 * (lado) ^ 2

Área del triángulo equilátero = ((3 ^ (1/2)) / 4) * lado ^ 2