El área A para cualquier triángulo viene dada por la fórmula A = (1/2) (base, b) (altura, h); sin embargo, para el caso especial del triángulo equilátero, es posible que solo conozca la longitud “s” para cada uno de los tres lados iguales y no la altura “h” del triángulo, y aún se le puede pedir que encuentre el área: “¿Entonces que?”
Sabemos que independientemente de qué lado de un triángulo equilátero se considere la base, tiene la misma longitud b = “s”. Entonces, todo lo que necesitamos ahora para encontrar el área A de un triángulo equilátero es su altura “h”.
Sabemos que un triángulo equilátero también es equiangular, es decir, cada uno de sus tres ángulos es congruente y, por lo tanto, los tres ángulos tienen la misma medida, es decir, cada ángulo tiene una medida de 60 ° (180 ° / 3 = 60 °) . Además, la altitud construida a partir de cualquiera de los tres vértices de un triángulo equilátero al lado opuesto es también la bisectriz perpendicular del lado opuesto y la bisectriz angular del ángulo del vértice desde el cual se originó la altitud y, en consecuencia, divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos congruentes de 30 ° – 60 °.
Ahora, considere un triángulo equilátero ABC, cada lado del cual tiene una longitud “s”, el lado BC es la base, y la altitud desde el vértice A hasta la base BC interseca BC en el punto D. Como una bisectriz angular del ángulo A y la bisectriz perpendicular de base BC en el punto D, la altitud AD divide △ ABC en dos triángulos rectángulos congruentes de 30 ° -60 ° con el punto D como el vértice de dos ángulos rectos adyacentes: ADB y ADC. Ahora, consideremos y analicemos △ ADB, que es uno de los dos triángulos rectángulos congruentes de 30 ° -60 ° formados por la altitud AD:
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Sabemos por geometría plana que en un triángulo rectángulo de 30 ° -60 °, el lado BD, que es el lado opuesto al ángulo de 30˚, tiene una longitud igual a la mitad de la longitud “s” de la hipotenusa AB, es decir, (1 / 2) s = s / 2. Al mismo tiempo, el lado opuesto al ángulo de 60˚ es la altitud AD de longitud “h”, y “h” también es la altura del △ ABC equilátero. Para encontrar “h”, utilizamos el Teorema de Pitágoras de la siguiente manera:
C² = A² + B²
(longitud de la hipotenusa AB) ² = (longitud de la AD alternativa) ² + (longitud del lado BD) ²
s² = h² + (s / 2) ²
s² – (s / 2) ² = h² + (s / 2) ² – (s / 2) ²
s² – (s / 2) ² = h² + 0
h² = s² – (s / 2) ² (La igualdad es simétrica, es decir, si a = b, entonces b = a)
Ahora, tomando la raíz cuadrada de ambos lados, tenemos:
h = ± √ [s² – (s / 2) ²]
Como físicamente no podemos tener una longitud negativa, definimos “h” como la raíz cuadrada positiva y resolvemos “h” de la siguiente manera:
h = √ [s² – (s / 2) ²]
= √ [s² – (s² / 4)]
= √ [(4s² / 4) – (s² / 4)]
= √ (3s² / 4)
= √ (3s²) / √4
= [(√3) (√s²)] / √4
h = (s√3) / 2 es la altura de un triángulo equilátero en términos de longitud
“S” de uno de sus lados.
Como ya sabemos que la longitud “b” de la base BC del equilátero △ ABC es igual a “s”, es decir, b = s, entonces el área UNA del triángulo equilátero ABC se encuentra de la siguiente manera:
A = (1/2) bh
= (1/2) (s) [(s√3) / 2]
= [(s) (s√3)] [(1/2) (1/2)] La multiplicación es asociativa, es decir, (ab) c = a (bc)
= (s²√3) (1/4)
A = (s²√3) / 4 es la fórmula para encontrar el área de un equilátero
triángulo en términos de la longitud “s” de uno de sus lados.
