A y B son dos puntos fijos. ¿Cuál es el lugar geométrico de un punto P tal que APB es un ángulo recto?

Hay un par de deficiencias en las respuestas hasta ahora que me gustaría aclarar y proporcionar otro método de solución:

1 / Una esfera con diámetro [matemática] AB [/ matemática] es el locus en el espacio tridimensional y así sucesivamente en n dimensiones.

2 / El primer punto ilustra mi segundo: no ha habido pruebas de que el círculo sea suficiente, solo de que es un componente necesario del locus.

Haré una prueba en el avión:

Considere una línea [matemática] l_ {A} [/ matemática] a través del punto [matemática] A: (a1, a2) [/ matemática] con pendiente m

[matemáticas] l_ {A}: y-a2 = m (x-a1) [/ matemáticas]

Ahora necesitamos una línea [matemática] l_ {B} [/ matemática] hasta [matemática] B [/ matemática] que es perpendicular a [matemática] l_ {A} [/ matemática]. La característica importante de esta línea es que es única. (Estoy afirmando sin pruebas de que dos líneas en el espacio euclidiano se encuentran como máximo en un punto). La ecuación del punto [matemática] P [/ matemática] de intersección de [matemática] l_ {A} [/ matemática] y [matemática] l_ {B} [/ matemática] será, por lo tanto, el lugar necesario y suficiente requerido.

[matemáticas] l_ {B}: y-b2 = – (\ frac {1} {m}) (x-b1) [/ matemáticas]

Configuremos [math] AB [/ math] a lo largo del eje [math] x [/ math] con el punto medio en el origen y llamemos su longitud [math] 2r [/ math].

[matemáticas] => A: (- r, 0), B: (r, 0) [/ matemáticas]

[matemáticas] => P = (r \ frac {1-m ^ 2} {1 + m ^ 2}, \ frac {2rm} {1 + m ^ 2}) [/ matemáticas]

[matemáticas] => x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Bueno, podría decir qué pasaría si [math] AB [/ math] estuviera en otro lugar del avión; yo diría que todavía podemos llamar a su longitud [math] 2r [/ math] y traducir los ejes en consecuencia.

El lugar geométrico del vértice P de un ángulo recto cuyos lados pasan a través de dos puntos fijos A y B es el círculo con diámetro AB .

Prueba:

Con el centro de simetría el punto medio O de AB , dibuje un triángulo ABP ‘ simétrico a ABP .

Los dos triángulos son congruentes debido a la simetría. Por lo tanto,

a) El ángulo P ‘ también es un ángulo recto.

b) Los ángulos A y B del cuadrilátero APBP ‘ también son ángulos rectos, ambos consistentes en ángulos complementarios.

Por lo tanto, el cuadrilátero APBP ‘ es un rectángulo.

Pero, los rectángulos son los únicos cuadriláteros con diagonales iguales y, por lo tanto, PP ‘= AB para cualquier P en el locus, con O como punto medio.

QED

Queremos el lugar geométrico de un punto [matemática] p [/ matemática] de modo que [matemática] \ angle ApB [/ matemática] sea un ángulo recto donde [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] dos puntos fijos

En cualquier círculo, el ángulo que un diámetro subtiende en el círculo es un ángulo recto.

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Los dos puntos fijos, [math] A [/ math] y [math] B [/ math] son ​​los puntos finales de un diámetro de un círculo en particular y el lugar geométrico del punto [ matemáticas] p [/ matemáticas] es ese círculo.

Sean A y B los puntos finales de un diámetro del círculo C. El lugar geométrico de los puntos P son los puntos que comprenden el círculo C, menos los puntos A y B mismos.

Pensé esto dibujando un pequeño boceto a mano alzada de unos 12 puntos. Estaba a punto de concluir que el lugar era el círculo hasta que consideré que el caso de P coincidía con A o B.

Si entiendo la pregunta, tienes un vector AB y quieres encontrar un punto P tal que un vector con su cola en AB (punto Q) y su cabeza en P.

La forma más fácil en que puedo pensar en esto es mediante un producto de puntos vectoriales. Encuentre el vector que cuando para producto con AB = 0

AB * QP = 0

(A * Q) + (B * P) = 0

Cualquier solución a eso le dará el vector QP que es perpendicular a AB, luego simplemente traduzca para alinearlo con el punto final de AB que desee, le dará la ubicación de P.

Un círculo de diámetro AB con su centro en el punto medio de [matemáticas] \ overline {AB} [/ matemáticas].

Es un circulo.

A y B son el punto final del diámetro.

Haga un círculo con AB como diámetro, ya que PA ^ 2 + PB ^ 2 = AB ^ 2 siempre.

¡Buena pregunta! Este será un círculo con AB como diámetro.

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