Una pendiente significa un aumento sobre la carrera entre dos puntos, ¿verdad? ¿Qué significa entonces calcular la pendiente en un instante particular?

La respuesta de Jimmy Lin es muy buena y muy complicada, y si necesita una definición rigurosa de pendiente en un instante en particular, le recomendaría asimilar lo que le ha ofrecido. Si solo quieres una idea conceptual de lo que significa, sigue leyendo.

Considere un gráfico de línea recta, algo que puede expresarse mediante una ecuación como, [matemática] y = mx + b [/ matemática], que reconoce como forma de pendiente-intersección. La pendiente de esa línea, la razón de aumento sobre la carrera, es [matemática] m [/ matemática]. En todas partes en esa línea, esa es la pendiente, porque es una línea recta, así que no importa dónde comience, ni qué tan lejos muestree, la relación de aumento sobre la ejecución será el mismo valor.

Ahora considere una gráfica diferente, digamos, [matemáticas] y = (x – 1) ^ 2 [/ matemáticas]. Esa es una parábola que besa el eje x en [math] (1, 0) [/ math] y sube hacia arriba a cada lado de ese punto. ¿Cuál es la pendiente de ese gráfico?

Bueno, obviamente, todo el gráfico no puede tener una sola pendiente, porque dependiendo de los dos puntos en el gráfico que elija, la relación subida / carrera podría ser positiva o negativa, y la magnitud podría ser desde cero hasta casi infinito. Y, sin embargo, todavía tiene sentido hablar sobre la pendiente de una parábola, para determinar si es una pendiente relativamente poco profunda o relativamente empinada, ¿sí? Así que dejemos de lado la idea de que la gráfica en su conjunto tiene una sola pendiente. Consideremos en cambio la pendiente en un único punto local.

Ponga a un lado su percepción matemática por un momento. Ponte los esquís en su lugar. E imagine una parábola que está cubierta con un par de centímetros de nieve fina y polvorienta. Supongamos que está parado (sobre sus esquís) en el vértice de la parábola (la parte inferior de la curva en U. Sin empujarse, ¿irá a algún lado? No, porque está en la parte inferior. Y ahora imagínese una unidad o dos a un lado, en el interior de la parábola. ¿Qué sucede ahora? Empiezas a deslizarte hacia el vértice. Si no estás muy lejos del vértice, no vas a deslizarte muy rápido, porque la pendiente es muy poco profunda. Cuanto más lejos esté, más rápido se deslizará, porque la pendiente se hace más pronunciada cuanto más lejos se encuentre del vértice.

Quizás sea más fácil pensar en esquiar en el exterior de una parábola. Para eso, necesitará uno que tenga un coeficiente negativo en el término [math] x ^ 2 [/ math], por lo que se abre hacia abajo. De nuevo, si te paras en el vértice, no vas a ir a ninguna parte, pero si te empujas justo fuera del punto muerto superior, vas a deslizarte lentamente más lejos del vértice, y a medida que avanzas, vas a deslizarte más y más rápido y más rápido más rápido hasta que vayas tan rápido que temes por tu vida. Esto se debe a que la pendiente es poco profunda cerca del vértice y aumenta a medida que te alejas de él.

Ahora, tal vez el esquí no sea la mejor ilustración, ya que hay una buena cantidad de fricción que superar en los esquís. Tal vez piense en una canica y una rampa parabólica muy grande. Si puede colocar la canica en el vértice, no rodará en ninguna parte. Si lo coloca incluso un milímetro a un lado, rodará lentamente. Si lo aleja del vértice, rodará muy rápido.

Como resultado, la velocidad a la que rueda la canica, o se desliza el esquí, en este o aquel punto en una rampa parabólica es aproximadamente igual a la velocidad a la que comenzaría a moverse en una rampa en línea recta de cierta pendiente . Esa pendiente sería la línea recta que cruza la parábola exactamente en ese punto. Piense nuevamente en una rampa parabólica y en una tabla recta. Elija un punto en esa rampa, cualquier punto, y coloque la tabla recta de modo que toque la rampa exactamente en ese punto. Entonces, la pendiente de la rampa en ese punto es igual a la pendiente de la línea recta que representa el tablero. (Término de vocabulario: esa línea se llama tangente a la curva en ese punto).

Resulta que hay una relación muy clara entre la parábola (o realmente, cualquier curva matemáticamente descripta) y su pendiente en cualquier punto dado. El proceso matemático de diferenciación puede indicarle la pendiente de una curva en cualquier punto de la curva. (Hay excepciones, pero las conocerá más adelante).

Entonces … TL; DR : la pendiente en un punto en particular le dice qué tan empinada o poco profunda es la curva en esa instancia local, sin tener en cuenta su inclinación o poca profundidad en otro lugar o en general.

Espero que esto haya sido útil e inteligible. Comentarios apreciados.

Para calcular la pendiente en un instante, puede tomar 2 puntos equidistantes de ese instante y tomar el límite a medida que esos 2 puntos se acercan infinitamente al instante. (Nota: esto solo funciona en líneas / funciones continuas y diferenciables)

Para ser claros, digamos que tiene una línea definida por una función f (x) donde cada posición horizontal x corresponde a una posición vertical f (x), formando algún punto (x, f (x)). Usemos (x, f (x)) como el instante / punto del que queremos encontrar la pendiente.

Tomemos dos posiciones horizontales p y q. Definimos p = x + k y q = xk para cierta distancia k. Entonces, ahora tenemos dos puntos (p, f (p)) y (q, f ​​(q)), los cuales están horizontalmente a la misma distancia k de (x, f (x)).

Podemos tomar la pendiente entre (p, f (p)) y (q, f ​​(q)) que sería (f (p) -f (q)) / (pq). Notamos que a medida que k se hace más y más pequeño, los dos puntos se acercan cada vez más a (x, f (x)) eventualmente ambos se encuentran en el punto (x, f (x)).

Luego observamos cómo cambia la pendiente (f (p) -f (q)) / (pq) a medida que k se hace cada vez más pequeña. Se acercará a un valor S cada vez más a medida que k se acerca cada vez más a 0. Ese valor S, es el límite que describe la pendiente en el instante (x, f (x)).

Cuando toma la pendiente en un instante, efectivamente está tomando la pendiente de una línea recta tangente a ese instante. Resulta que tal pendiente se puede aproximar imaginando que era la pendiente de dos puntos tan cercanos y centrados en el instante que también podrían ser ese instante.

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