¡Te daré dos formas de llegar a la respuesta!
Primero, forma básica de álgebra.
Digamos que la línea paralela toma esta forma.
[matemáticas] y = mx + b [/ matemáticas]
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Si la línea es paralela, eso significa que [math] m [/ math] de las dos líneas son iguales.
Si resolvemos la línea que se nos dio para [matemáticas] y [/ matemáticas], encontramos …
[matemáticas] 4x + 3y = 12 \ flecha derecha y = – \ frac {4} {3} x + 4 [/ matemáticas]
Entonces, sabemos que nuestra línea que estamos tratando de encontrar debe ser de la forma
[matemáticas] y = – \ frac {4} {3} x + b [/ matemáticas]
Ahora podemos conectar un punto para arreglar esa parte [matemática] b [/ matemática].
[matemáticas] (4) = – \ frac {4} {3} (3) + b \ rightarrow b = 8 [/ matemáticas]
Entonces eso significa…
[matemáticas] y = – \ frac {4} {3} x + 8 [/ matemáticas]
Ahora hagámoslo con el álgebra lineal más picante con un poco de cálculo.
Si las líneas son paralelas, eso significa que las dos comparten el mismo vector de gradiente (o podrían tener exactamente lo contrario, no importa).
[matemáticas] \ frac {d} {d } (4x + 3y) = \ frac {d} {d } (12) \ rightarrow \ begin {bmatrix} 4 \\ 3 \ end {bmatrix} \ cdot \ begin {bmatrix} dx \\ dy \ end {bmatrix} = 0 [/ math]
Entonces el gradiente es [matemáticas] [/ matemáticas]. En base a esto, encontramos que, para satisfacer la ecuación, [math] dy = – \ frac {4} {3} dx [/ math]. Tenemos una variable libre, así que digamos [math] dx = dt [/ math] y [math] dy = – \ frac {4} {3} dt [/ math]. Entonces, ahora estamos aquí.
[matemáticas] \ begin {bmatrix} dx \\ dy \ end {bmatrix} = dt \ begin {bmatrix} 1 \\ – \ frac {4} {3} \ end {bmatrix} [/ math]
Integrar
[matemáticas] \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = t \ begin {bmatrix} 1 \\ – \ frac {4} {3} \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} {C_1 \ \ C_2} \ end {bmatrix} [/ math]
Por último, todo lo que tienes que hacer es decir que el punto que quieres estar en la línea es la constante.
[matemáticas] \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = t \ begin {bmatrix} 1 \\ – \ frac {4} {3} \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 3 \\ 4 \ end {bmatrix} [/ math]
Ahí tienes, dos formas diferentes de hacerlo.