En la ecuación, ‘6x ^ 2 + 4x + k’, ¿a qué equivale k para ser tangente al eje X?

Answer 1

Gracias por el A2A!

En este caso, uno de los métodos más simples sería el enfoque gráfico. Sabemos que el valor de [math] k [/ math] solo cambiará todo el gráfico hacia arriba o hacia abajo en un valor constante.

Si encontramos la coordenada [math] y [/ math] del vértice, sabremos exactamente cuánto debemos mover la parábola hacia arriba para que solo toque el eje [math] x [/ math].

Sabemos que la [math] x [/ math] -coordinate está dada por [math] \ dfrac {-b} {2a} [/ math].

Sabemos que la [matemática] x [/ matemática] -coordinada es [matemática] \ dfrac {-4} {12} = – \ dfrac {1} {3} [/ matemática]. Debido a que la [math] y [/ math] -coordinate se da sustituyendo la [math] x [/ math] -coordinate en la función y queremos que la [math] y [/ math] -coordinate esté en [math] 0 [/ math] (aquí es donde solo tocará el eje [math] x [/ math]), podemos hacer la siguiente ecuación:

[matemática] 6 \ left (- \ dfrac {1} {3} \ right) ^ 2 + 4 \ left (- \ dfrac {1} {3} \ right) + k = 0 [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {2} {3} – \ dfrac {4} {3} + k = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ en caja {k = \ dfrac {2} {3}} [/ matemática]

Aquí hay una verificación gráfica rápida:

Answer 2

Sea [math] f (x) = 6x ^ 2 + 4x + k [/ math], luego [math] f (x) [/ math] es tangente al eje x si el discriminante de [math] f (x) [/ math] es 0, es decir, [math] 4 ^ 2-4 \ times6 \ times k = 0 [/ math]. Así:

[matemáticas] 16-24k = 0 \ Estrella derecha 16 = 24k \\\ por lo tanto k = \ tfrac {2} {3} [/ matemáticas]

Answer 3

La función f (x) = 6x ^ 2 + 4x + k es una parábola. La tangente a su vértice (punto mínimo) es paralela al eje x. Esto significa que el gradiente en este punto es 0.

Una forma de calcular k es obtener primero la ecuación para el gradiente de f (x) y usarla para encontrar para qué valores de x es 0.

Al diferenciar f (x) obtenemos f ‘(x) = 12x + 4.

Entonces f ‘(x) = 0 cuando x = -1 / 3

Entonces f (-1/3) = 6 (-1/3) ^ 2 + 4 (-1/3) + k = 0

Resolver para k da k = 2/3

Answer 4

Vea la gráfica de 6 * x ^ 2 + 4 * x:

Vea el valor de f (x) en el extremo de la parábola.

Por lo tanto, tendría que agregar 0.6666 … (2/3) a f (x) para elevarlo de modo que la parte inferior de la parábola solo toque el eje X.

Entonces k = 2/3. Ver gráfico:

O

Puedes resolver analíticamente usando un poco de cálculo

Answer 5

K = 2/3. Complete el cuadrado o encuentre el eje de simetría de -b / 2a, luego vuelva a enchufarlo en la ecuación original y resuelva para K.